Enunciado

Uma rocha extraída do subsola contém 0,86   m g de U 238 , 0,15   m g de P b 2 06 e 1,6   m g de A r 40 . Quantos miligramos de K 40 deve conter a rocha? Suponha que o K 40 decai apenas para A r 40 com uma meia-vida de 1,25 ⋅ 10 9   a n o s . Suponha também que o U 238 tem uma meia vida de 4,47 ⋅ 10 9   a n o s .

Passo 1

Nesse problema temos uma rocha composta inicialmente apenas por urânio e potássio, que decaem, respectivamente, para chumbo e argônio. Sabemos que em um determinado instante:

m U = 0,86   m g ,           m P b = 0,15   m g             e           m A r = 1,6   m g

Vamos primeiro estudar o decaimento de urânio para chumbo para determinar a idade da rocha. Para isso, vamos converter a massa em número de átomos:

N U = m U M U ⋅ N A = 0,86 ⋅ 10 - 3 238 ⋅ 6,02 ⋅ 10 23 = 2,17 ⋅ 10 18

N P b = m P b M P b ⋅ N A = 0 , 15 ⋅ 10 - 3 2 06 ⋅ 6,02 ⋅ 10 23 = 0,44 ⋅ 10 18

Assim, como inicialmente a rocha tinha apenas urânio e parte dele decaiu para chumbo, o número de átomos de urânio inicial da rocha era

N 0 = 2,17 ⋅ 10 18 + 0,44 ⋅ 10 18 = 2,61 ⋅ 10 18

Com isso podemos tirar a idade da rocha:

N U = N 0 e - λ t ⇒ t = 1 λ ln ⁡ N 0 N U = T ln ⁡ 2 ⋅ ln ⁡ N 0 N U

Portanto,

t = 4,47 ⋅ 10 9   a n o s ln ⁡ 2 ⋅ ln ⁡ 2,61 2,17 = 1,18 ⋅ 10 9   a n o s

Passo 2

Vamos fazer o mesmo estudo com o decaimento do potássio em argônio. Temos que

N 0 ' = N K + N A r

Sabemos também que

N K = N 0 ' e - λ ' t ⇒ N 0 ' = N K e λ ' t

Substituindo na primeira equação:

N K e λ ' t = N K + N A r ⇒ N K = N A r e λ ' t - 1

O número de átomos de argônio é dado por

N A r = m A r M A r ⋅ N A = 1,6 ⋅ 10 - 3 40 ⋅ 6,02 ⋅ 10 23 = 2,4 ⋅ 10 19

Por outro lado:

e λ ' t = exp ⁡ ln ⁡ 2 T ' ⋅ t = exp ⁡ ln ⁡ 2 1,25 ⋅ 10 9   a n o s ⋅ 1,18 ⋅ 10 9   a n o s   = 1,92

Portanto,

N K = 2,4 ⋅ 10 19 1,92 - 1 = 2,61 ⋅ 10 19

Por fim, basta converter para massa:

N K = m K M K ⋅ N A ⇒ m K = N K M K N A = 2,61 ⋅ 10 19 ⋅ 40 6,02 ⋅ 10 23 = 17,3 ⋅ 10 - 4   g

Logo,

m = 1,73   m g

Resposta

1,73   m g

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