Enunciado

Uma rocha com massa m desliza com velocidade inicial v 0 sobre uma superfície horizontal. Uma força retardadora F r que a superfície exerce sobre a rocha é proporcional à raiz quadrada da velocidade instantânea da rocha ( F r = k v 1 2 ) .

a) Obtenha expressões para a velocidade e a posição da rocha em função do tempo.

b) Quando a rocha chega ao repouso, em termos de m ,   k   e   v 0 ?

c) Qual é a distância da rocha em relação ao seu ponto de partida quando chega ao repouso, em termos de m ,   k   e   v 0 ?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma rocha com massa m desliza com velocidade inicial v 0 sobre uma superfície horizontal.

Uma força retardadora F r que a superfície exerce sobre a rocha é proporcional à raiz quadrada da velocidade instantânea v da rocha, ou seja:

F r = k v 1 2

Onde k é uma constante.

Queremos encontrar as expressões para a velocidade e a posição da rocha em função do tempo.

Também queremos descobrir o tempo e a distância em que a rocha chega ao repouso em termos da massa m ,   a constante   k   e a velocidade inicial   v 0 .

Para isso, utilizaremos a segunda Lei de Newton:

∑ F = m a

Onde ∑ F é a força resultante, m é a massa e a é a aceleração.

Bora lá!! 😉

Passo 2

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão temos que lembrar que
  2. F = m a

    Como a aceleração é a derivada da velocidade, temos,

    F r = m d v d t

    E temos uma expressão da força em função da velocidade que o enunciado forneceu:

    k v = m d v d t

    Podemos integrar e determinar uma expressão para a velocidade em função do tempo:

    d v v = k m d t

    ∫ v 0 v v - 1 2 d v = k m ∫ 0 t d t

    2 v 1 2 v 0 v = - k m t

    v t = v 0 - v 0 k t m + k 2 t 2 4 m 2                                       1

    Passo 3

    E podemos relacionar a velocidade com a derivada da posição:

    d x d t = v t = v 0 - v 0 k t m + k 2 t 2 4 m 2

    Agora é só multiplicar por d t dos dois lados e integrar:

    x t = ∫ 0 t v 0 - v 0 k t 2 m + k 2 t 2 4 m 2 d t = v 0 t - v 0 k t 2 2 m + k 2 t 3 12 m 2

    Logo,

    a x = v 0 t - v 0 k t 2 2 m + k 2 t 3 12 m 2                           2

    Passo 4

  3. A rocha chega no repouso quando v = 0 . Então vamos substituir na equação 1 , encontrada no Passo 1:
  4. 0 = v 0 - v 0 k t m + k 2 t 2 4 m 2

    Aqui temos uma equação de segundo grau no tempo. Os coeficientes são:

    a = k 2 / 4 m 2

    b = - v 0 k m

    c = v 0

    Usando a fórmula de bhaskara teremos uma solução:

    t = - - v 0 k m ± - v 0 k m 2 - 4 k 2 4 m 2 v 0 2 k 2 / 4 m 2

    O argumento da raiz vai zerar, então temos uma raiz dupla e igual:

    t = 2 m v 0 k

    Passo 5

  5. E a posição nesse instante de tempo é só substituir t = 2 m v 0 k na expressão da posição, equação 2 :

x 2 m v 0 k = v 0 2 m v 0 k - v 0 k 2 m 2 m v 0 k 2 + k 2 12 m 2 2 m v 0 k 3

Os dois primeiros termos se cancelam e ficamos apenas com o terceiro. Simplificando um pouco essa expressão teremos:

x = 2 m v 0 3 2 k

Resposta

a )   v t = v 0 - v 0 k t m + k 2 t 2 4 m 2 ; x t = v 0 t - v 0 k t 2 2 m + k 2 t 3 12 m 2

b )   t = 2 m v 0 k

c )   x = 2 m v 0 3 2 k

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