Enunciado

Uma roda gira em torno de um eixo que está na direção z . A velocidade angular ω z é - 6 rad/s para t = 0 , aumenta linearmente no decorrer do tempo e é + 8 rad/s para t = 7 s. Consideramos a rotação anti-horária como positiva. A) A aceleração angular nesse intervalo de tempo é positiva ou negativa? B) Em qual intervalo de tempo a velocidade escalar da roda aumenta? Diminui? C) Qual é o deslocamento angular da roda para t + 7 s?

Passo 1

Faaaaaaaala aí, tudo bem?

O enunciado nos disse que uma roda gira em torno do eixo que está na direção z . Ele também comentou sobre como aumenta a velocidade angular e com base nessas informações nós devemos determinar (a) a aceleração angular no intervalo de tempo [ 0 ,   6 ] , (b) o intervalo no qual a velocidade da roda aumenta ou diminui e (c) o deslocamento angular da roda para t = 7   s .

Pra isso, nós vamos usar as equações horárias da aceleração, velocidade e deslocamento angular e avaliar o que acontece em cada intervalo.

Vamos lá!

Passo 2

Repare que, a aceleração angular é positiva, uma vez que a velocidade angular aumenta constantemente de um valor positivo para um negativo.

a) Do enunciado temos a velocidade angular final ω z = 8   r a d / s e a velocidade angular inicial ω z = - 6   r a d / s , e também temos o intervalo de tempo. Com isso, podemos obter a aceleração angular através da equação:

α = ω - ω 0 t - t 0

Então, substituindo os valores, temos:

α = 8 r a d s - - 6 r a d s 7 s - 0 s

α = 2   r a d / s 2

E quando é que a velocidade troca de sinal?

Passo 3

b) Podemos montar a equação horária para velocidade. Lembra da fórmula?? É tio aquela do sorvete:

ω t = ω 0 + a t

Então, substituindo os dados, ficamos com:

ω t = - 6 + 2 t

Para saber quando a equação troca de sinal, podemos fazer ω t = 0 (já que estamos trabalhando com a derivada da aceleração e podemos encontrar seus pontos críticos):

- 6 + 2 t = 0

Assim, temos:

t = 3

Dessa forma, são necessários 3   s para a roda parar ( w z = 0 ) . Durante esse tempo, essa velocidade cai e nos próximos 4   s a velocidade aumenta de 0   r a d / s para 8   r a d / s .

Resumindo:

  • ω diminui entre 0 < t < 3 s ;
  • ω aumenta entre 3 < t < 7 s
  • Para saber a velocidade escalar, podemos usar a seguinte equação:

    v = ω r

    Onde r é o raio da roda, mas v é proporcional a ω . Então:

  • v diminui entre 0 < t < 3 s ;
  • v aumenta entre 3 < t < 7 s ;

Passo 4

c) Agora, só precisamos conhecer o deslocamento angular θ - θ 0 , que pode ser determinado pela equação horária da posição:

θ t = θ 0 + ω 0 t + a t 2 2

Como Δ θ = θ - θ 0 é a variação do deslocamento angular, temos:

∆ θ = ω 0 t + a t 2 2

E substituindo os valores do enunciado, obtemos:

∆ θ = - 6 7 + 2 7 2 2

∆ θ = - 42 + 49

∆ θ = 7 r a d

Então, o deslocamento leva 7   r a d após 7   s e g u n d o s .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) a aceleração angular é positiva

b) são necessários 3   s para a roda parar ( w z = 0 ) . Durante esse tempo, essa velocidade cai e nos próximos 4   s a velocidade aumenta de 0   r a d / s para 8   r a d / s .

c) ∆ θ = 7 r a d

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