Segundo a mecânica quântica, a nuvem de elétrons de um átomo de hidrogênio em estado fundamental tem uma densidade de carga

ρ r = q π a 3 e - 2 r a

Onde q é a carga de elétron e a é o raio de Bohr. Encontre a polarizabilidade atômica desse átomo. [Dica: primeiro calcule o campo elétrico da nuvem de elétrons. E e ( r ) ; depois expanda o potencial assumindo que r ≪ a . Para uma abordagem mais sofisticada. Consulte W.A. Bowers, Am, J. Phys. 54, 347 (1986).]

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A lei de Gauss afirmava que

ϕ E = ∫ ∫ E ∙ d a = Q e ϵ 0

Onde Q e é a carga dentro da superfície gaussiana ∂ R . Se esta superfície tem um raio r , portanto,

∫ ∫ E ∙ d a = Q e ϵ 0 = ∫ ∫ E d a = Q e ϵ 0

Visto que E e d a estão na mesma direção, e como E é uma constante sobre a superfície, nós obtemos o seguinte resultado

E ∫ d a = Q e ϵ 0   ( 2 )

Como ∫ d a = 4 π r 2 , nós temos que

E 4 π r 2 = Q e ϵ 0

Isolando o E

E = Q e 4 π ϵ 0 r 3 r   ( 3 )

Passo 2

A partir da densidade ρ , podemos determinar a carga contida. Como sabemos,

Q e = ∭ ρ   d V

Usando coordenadas esféricas, nós temos que

Q e = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 r ρ r ' 2 sen ⁡ θ d r ' d θ d ϕ

Substituindo os valores, nós temos que

Q e = 4 π ∫ 0 r q π a 3 e - 2 r ' a r ' 2   d r ' = 4 q a 3 ∫ 0 r e - 2 r ' a r ' 2   d r '   ( 5 )

Podemos calcular essa integral usando a integração por partes. Com isso,

u = x 2 → d u = 2 x   d x d v = e - 2 x / a   d x → v = - a 2 e - 2 x / a   ( 6 )

Nós temos que

I = ∫ x 2 e - 2 x a = - a x 2 2 a - 2 x a + 2 a 2 ∫ x e - 2 x a   d x     7

Usando a integração por partes mais uma vez, resulta

∫ x 2 e - 2 x a   d x = - a x 2 e - 2 x a + a 2 ∫ e - 2 x a   d x

Com isso, nós temos que

∫ x 2 e - 2 x a   d x = - a x 2 e - 2 x a + a 2 - a 2 e - 2 x a  

Portanto,

∫ x 2 e - 2 x a   d x = - a x 2 2 e - 2 x a + a - a x 2 e - 2 x a - a 2 4 e - 2 x a   + C

Desenvolvendo um pouco mais

∫ x 2 e - 2 x a   d x = - a 4 e - 2 x a a 2 + 2 a x + 2 x 2 + C

Onde C é uma constante real, então nós temos que

Q e = 4 q a 3 - a 4 e 2 r ' a a 2 + 2 a r ' + 2 r ' 2 0 r = q a 2 a 2 - e - 2 r a   a 2 + 2 a r + 2 r 2

Com isso, nós temos que

Q e = q 1 - e - 2 r a   1 + 2 r a + 2 r 2 a 2

Passo 3

Assumindo que a ≫ r , nós iremos usar séries de potência para o termo de exponencial

e - 2 r a = 1 + - 2 r a 1 ! + - 2 r a 2 2 ! + - 2 r a 3 3 ! + … = 1 - 2 r a + 2 r a 2 - 4 3 r a 3 + …

Portanto, nós temos que

Q e = q 1 - 1 - 2 r a + 2 r 2 a 2 - 4 3 r 3 a 3 1 + 2 r a + 2 r 2 a 2

Usando a notação Big-O para reduzir o tamanho da fórmula, temos que

Q e = 4 q 3 r 3 a 3 + O r a 4  

O resultado do campo elétrico é

E = Q e 4 π ϵ 0 r 2 = 4 q 3 r 3 a 3 4 π ϵ 0 r 2

Desenvolvendo um pouco mais

E = q r 3 π ϵ 0 a 3 = p 3 π ϵ 0 a 3

Tendo em mente que

E = 1 α p = p 3 π ϵ 0 a 3

Finalmente, nós podemos dizer que

α = 3 π ϵ 0 a 3

Resposta

α = 3 π ϵ 0 a 3