Enunciado

Seja uma onda estacionaria com quatro nós, dois dos quais situados nas extremidades fixas (terceira harmônica), numa corda de violão de 45 cm de comprimento. No instante t = 0 o deslocamento vertical do ventre é máximo e vale 5 cm. Desenhe a forma da onda para os instantes t   =   0 ,   ( 1 / 4 ) T ,   ( 1 / 2 ) T ,   ( 3 / 4 ) T   e   T .

Passo 1

E aíiíí cara! Vamos pra mais uma de ondas

Antes de tudo, dá uma olhada lá no exercício resolvido 14.3 do seu livro. Ali, ele já nos deu de bandeja que a velocidade da onda em uma corda de violão é 44,7   m / s

Outra coisa que já temos do enunciado do exercício é o comprimento de onda, porque olha só: se temos uma terceira harmônica, temos uma onda e meia em 45   c m de corda, portanto, o comprimento de uma onda será:

λ = 2.45 3 = 30   c m = 0,3 m

Também temos a amplitude y m , que vale 5   c m

Para descobrirmos a frequência f , vamos usar:

f = v λ

f = 44,7 0,3 = 149   H z

Portanto, a frequência angular é

ω = 2 π f = 2 π . 149 = 298 π   r a d / s

E o período T é

T = 1 f = 1 149 = 6,7   m s

E o número de onda k é dado por

k = 2 π λ = 2 π 0,3 = 20 π 3

Agora é só substituir as informações nessa equação:

y = y m . s e n ( k x - ω t )

Passo 2

A equação geral de onda é

y = y m . s e n ( k x - ω t )

Substituindo as informações que encontramos:

y = 5 . s e n 20 π 3 x - 298 π t

Belezinha, agora vamos desenhar a configuração dessa onda para os seguintes valores de t :

t = 0

t = 1 4 T = 1 4 6,7 m s = 1,68   m s

t = 1 2 T = 1 2 6,7 m s = 3,35   m s

t = 3 4 T = 3 4 6,7 m s = 5   m s

t = T = 6,7   m s

Vamos lá!

Passo 3

Para t = 0

Se t = 0 , temos:

y = 5 . s e n 20 π 3 x - 298 π . 0

y = 5 . s e n 20 π 3 x

Uma onda de amplitude 5 que vai ter seus nós nos seguintes valores de x :

s e n 20 π 3 x = 0

20 π 3 x = k π ,   k   i n t e i r o

x = 3 k 20 ,   k   i n t e i r o

Então temos:

Passo 4

Para t = 1,68 m s = 1,68.10 - 3 s

Se t = 1,68.10 - 3 , temos:

y = 5 . s e n 20 π 3 x - 298 π . 1,68.10 - 3

y = 5 . s e n 20 π 3 x - 0,5 π

Então temos:

Passo 5

Para t = 3,35   m s = 3,35 . 10 - 3 s

Se t = 3,35 . 10 - 3 , temos:

y = 5 . s e n 20 π 3 x - 298 π . 3,35 . 10 - 3

y = 5 . s e n 20 π 3 x - 0 , 99 π

Então temos:

Passo 6

Para t = 5   m s = 5 . 10 - 3 s

Se t = 5 . 10 - 3 , temos:

y = 5 . s e n 20 π 3 x - 298 π . 5 . 10 - 3

y = 5 . s e n 20 π 3 x - 1,49 π

Então temos:

Passo 7

Para t = 6,7   m s = 6,7 . 10 - 3 s

Se t = 6,7 . 10 - 3 , temos:

y = 5 . s e n 20 π 3 x - 298 π . 6,7 . 10 - 3

y = 5 . s e n 20 π 3 x - 1 , 9 9 π

Então temos: (como T é o período, aqui temos a mesma onda de 0   s )

Resposta

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