Para um sistema que executa um movimento harmónico simples em torno de uma posição de equilíbrio estável, a força F é dada por

onde V é a energia potencial e R - R0 é o afastamento do equilíbrio. Mostre que a vibração de ponto zero de uma molécula é dada por

Para o oscilador harmônico simples, a força restauradora é

Aqui, é o desvio na posição a partir da posição de equilíbrio e é o potencial de energia.

Primeiro, definimos uma nova variável de posição:

Reescrevemos a posição de restauração em termos dessa nova variável, e equacionando isso com a segunda lei de Newton, em termos da nova variável de posição :

Aqui, é a massa reduzida no lugar da massa, porque a variável de posição é agora definida em termos da posição de equilíbrio no lugar de um termo referencial externo.

Esses termos constituem uma equação diferencial na posição :

Para um movimento harmônico simples, descobrimos uma solução na forma de seno ou cosseno em

Escolhendo uma dessas formas é o suficiente nesse caso, já que não nos foram dadas condições iniciais:

Aqui, é a frequência angular do movimento harmônico simples.

Avaliando a segunda derivada dessa função:

Substituindo isso na equação diferencial:

Para um geral (diferente de zero) , o termo nas chaves deve ser igual a zero. Resolvendo isso para a frequência angular:

Então a frequência é:

Essa é o modo fundamental do sistema, então multiplicando pela constante de Planck e dividindo por 2 para achar o ponto-zero de vibração