Enunciado

No sistema indicado o coeficiente de atrito entre as polias e a correia é μ. Entre que limites pode variar a força F capaz de equilibrar o peso P?

Passo 1

Bom, vamos pensar um pouco nas circunstâncias do sistema. Quando o peso estiver na iminência de subir, teremos a força F no seu valor máximo, para suportar este peso. Por conta disso e levando em consideração as equações estudadas neste capítulo, nós teremos:

T = P * e μ π 2 + α , e o mesmo para F = T * e μ π 2 + α ,

Para encontrar a força máxima, realizamos as substituições:

F m á x = T * e μ π 2 + α =   P * e μ π 2 + α * e μ π 2 + α

Logo,

F m á x = P *   e π 2 + 2 α

Pronto! Encontramos a força máxima.

Passo 2

Agora, vamos encontrar a força mínima, que está sendo expressa quando o peso está na iminência de descer. Nós teremos, então:

P = T * e μ π 2 + α , e T = F * e μ α

Para encontrar a força mínima, realizamos as substituições necessárias pelas equações acima e encontraremos:

F m í n =   P * e μ π 2 + 2 a

Passo 3

Agora que encontramos as equações para as forças máximas e mínimas, vamos entender a geometria do problema. Como podemos ver, temos uma relação trigonométrica que pode ser usada a nosso favor aqui neste exercício, para encontrarmos α .

Lembrando que a tg de um ângulo é sempre seu cateto oposto dividido pelo cateto adjacente, teremos então, que:

t g α = B C A B = 2 R * cos ⁡   ( α ) 4 R - 2 R * s e n ( α )

Como sabemos que t g α = s e n   α cos ⁡ α , teremos:

s e n   α cos ⁡ α = cos ⁡   ( α ) 2 - s e n ( α )

Assim,

s e n   ( α ) = 1 2

Logo, α = π 6 .

Passo 4

Como o problema pede o intervalo de limite em que F está contido, teremos que

F m í n ≤ F ≤ F m á x

E, pelas equações encontradas anteriormente para a força máxima e mínima, teremos:

  P * e μ π 2 + 2 a ≤ F ≤ P *   e π 2 + 2 α

Como α = π 6 , então:

  P * e - μ 5 π 6 ≤ F ≤ P *   e μ 5 π 6

Pronto! Encontramos os limites em que a força está envolvida.

Resposta

P * e - μ 5 π 6 ≤ F ≤ P *   e μ 5 π 6

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