Enunciado

Testes com armas nucleares nas décadas de 50   e 60 liberaram quantidades significativas de trítio radioativo ( H 1 3 , meia-vida de 12,3 a ) na atmosfera. Os átomos de trítio ligaram-se rapidamente em moléculas de água e caíram em forma de chuva, a maior parte no oceano. Em qualquer porção dessa água contendo trítio que afunda abaixo da superfície, a quantidade de tempo durante a qual ela foi isolada da superfície pode ser calculada medindo-se a razão entre o produto do decaimento, H e 2 3 , e o trítio remanescente na água. Por exemplo, se a razão entre o H 1 3 e o H e 2 3 em uma amostra de água é 1 : 1 , a água permaneceu abaixo da superfície por uma meia-vida, ou aproximadamente 12 anos. Esse método forneceu aos oceanógrafos um modo conveniente de mapear os movimentos de correntes submarinas em partes do oceano. Suponha que, em uma determinada amostra de água, a razão entre o H e 2 3 e o H 1 3 é de 4,36 para 1 . Quantos anos atrás essa água afundou abaixo da superfície?

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar você a resolver esse problema! Vamos lá?

O número de núcleos de trítio decresce exponencialmente, certo? de forma que:

N H = N 0 H e - λ t

O número de H e - 3 após transcorrido um tempo t é:

N H e = N 0 H - N H = N 0 H - N 0 H e - λ t = N 0 H 1 - e - λ t

E fazendo a razão de N H e por N 0 H temos:

N H e N H = N 0 H 1 - e - λ t N 0 H e - λ t = 1 - e - λ t e - λ t = e λ t - 1

Isso nos diz que:

N H e N H = e λ t - 1

Passo 2

Agora vou resolver para t , certo?

N H e N H = e λ t - 1

e λ t = N H e N H + 1

E tirando l n dos dois lados:

λ t = ln ⁡ N H e N H + 1

t = 1 λ ln ⁡ N H e N H + 1

Passo 3

Nosso próximo passo é encontrar a constante de decaimento. A partir do tempo de meia vida fica tranquilo de encontrar esse valor:

λ = ln ⁡ 2 T 1 / 2   = 0,693 12,3 = 0,0563

E a razão entre o H e 2 3 e o H 1 3 é de 4,36 , então agora é só juntar tudo isso! Do passo anterior temos:

t = 1 λ ln ⁡ N H e N H + 1

Substituindo:

t = 1 0,0563 ln ⁡ 4,36 + 1 = 29,82 ≅ 30 a n o s

Resposta

30 a n o s

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