Enunciado

Verifique o princípio da incerteza para a função de onda na Equação 2.129 . Dica: calcular ⟨ p 2 ⟩ é complicado, pois a derivada de ψ tem uma descontinuidade em x = 0 . Use o resultado no Problema 2.24   ( b ) . Resposta parcial: p 2 = m α ℏ 2 .

Passo 1

Fala aí, beleza? No Problema 2.22 já nos deparamos com esse potencial, mas agora temos conhecimento que ele se refere ao estado ligado de uma partícula sujeita a um potencial delta de Dirac. Assim, vamos calcular os valores esperados da posição, do momento e do quadrado dessas grandezas.

Para o valor esperado da posição, temos:

x = m α ℏ 2 ∫ - ∞ ∞ x   e - 2 m α x ℏ 2 d x

Note que o integrando é uma função ímpar, logo x = 0 . Consequentemente, como já vimos em várias questões, p = 0 .

Passo 2

Vamos agora para a posição quadrática:

x 2 = m α ℏ 2 ∫ - ∞ ∞ x 2   e - 2 m α x ℏ 2 d x

Agora, como o integrando é uma função par, podemos escrever a integral como:

x 2 = 2 m α ℏ 2 ∫ 0 ∞ x 2   e - 2 m α x ℏ 2 d x

Essa integral pode ser resolvida por partes, de modo que ficamos com:

x 2 = 2 m α ℏ 2   2 ℏ 2 2 m α 3 ∴ x 2 = ℏ 4 2 m 2 α 2

Portanto, a incerteza associada à posição é:

σ x = ℏ 2 2 m α

Passo 3

Agora vamos calcular o valor esperado do momento quadrático. Vamos analisar as derivadas da função de onda:

d ψ d x = m α ℏ - m α ℏ 2   e - m α x ℏ 2           ( x ≥ 0 )   m α ℏ 2   e m α x ℏ 2                 ( x ≤ 0 )

Seguindo a dica do enunciado, podemos escrever essa derivada como:

d ψ d x = m α ℏ 3 - θ x e - m α x ℏ 2 + θ ( - x )   e m α x ℏ 2

Note que escrever a derivada em termos da função degrau permite que contemplemos todos os valores da derivada em uma só expressão. Desse modo, tomando a derivada segunda e lembrando da relação entre a derivada da função degrau com a função delta de Dirac, vem:

d 2 ψ d x 2 = m α ℏ 3 - δ x e - m α x ℏ 2 + θ x m α ℏ e - m α x ℏ 2 - δ - x e m α x ℏ 2 + θ - x m α ℏ 2 e m α x ℏ 2

Perceba que os termos θ x   e - m α x ℏ 2 e θ - x   e m α x ℏ 2   ao serem somados, podem ser simplificados como:

θ x   e - m α x ℏ 2 + θ - x   e m α x ℏ 2 = e - m α x ℏ 2

Sabemos também que δ - x = δ ( x ) e, além disso, f x δ x = f 0 δ ( x ) . Assim, aplicando também essas duas relações, podemos simplificar a expressão para:

d 2 ψ d x 2 = m α ℏ 3 - 2 δ x + m α ℏ 2 e - m α x ℏ 2

Com isso o valor esperado de p 2 fica:

p 2 = - ℏ 2 ∫ - ∞ ∞ ψ * d 2 ψ d x 2 d x

Portanto, substituindo os resultados obtidos:

p 2 = - m α ℏ 2 ∫ - ∞ ∞ e - m α x ℏ 2 - 2 δ x + m α ℏ 2 e - m α x ℏ 2 d x

Quebrando em duas integrais, chegamos em:

p 2 = 2 m α ℏ 2 1 - m α ℏ 2 ℏ 2 2 m α

Portanto:

p 2 = m α ℏ 2

E, por fim, a incerteza no momento fica:

σ p = m α ℏ

Passo 4

Por fim, o produto entre as incertezas fica:

σ x σ p = 2 ℏ 2 > ℏ 2

Logo, o princípio da incerteza é respeitado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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