Exercícios Resolvidos de Introdução a Lei de Faraday

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Enunciado

(I) Um capacitor de placas paralelas circulares, no vácuo, está sendo carregado, como indica a figura abaixo. As placas têm raio R e a corrente de condução nos fios no instante t é igual a I ( t ) .

Calcule o campo magnético no ponto P a uma distância a < R do eixo do capacitor, conforme a figura. Dado: o campo elétrico dentro do capacitor é E = σ / ϵ 0 , onde σ é a densidade superficial de carga.

(II) O campo elétrico de uma onda que se propaga no vácuo é dada por E → = E 0 e - a x - c t 2 j ^ , onde a constante α > 0 . Use a lei de Faraday, ∇ →   × E → =   - ∂ B → ∂ t , para calcular o campo vetorial B → desta onda.

Passo 1

(I)

Aplicando a lei de Ampère-Maxwell temos, já que a corrente circulada é nula:

∮ B → . d l → = μ 0 ε 0 ∂ ∂ t   ∫ E → . d A →

Como a integral de d l é o comprimento da circunferência de raio a :

B 2 π a = μ 0 ε 0 ∂ ∂ t   ∫ E → . d A →

Substituindo a área e o valor do campo elétrico:

B 2 π a = μ 0 ε 0 ∂ ∂ t σ ε 0 π a 2

Substituindo a densidade de carga superficial e sabendo que I = d q / d t :

B 2 π a = μ 0 π a 2 ∂ ( q / π R 2 ) ∂ t = μ 0 π a 2 I π R 2

B = μ 0 a I 2 π R 2 .

Passo 2

(II)

Como o campo E → só tem componente y , a lei de Faraday se escreve como

∇ →   × E → = ∂ E y ∂ x k ^ =   - ∂ B → ∂ t

Como estamos interessados na solução ondulatória podemos colocar B x = B y = 0 . Basta resolver a EDO:

∂ E y ∂ x =   - ∂ B z ∂ t

Se chamarmos uma variável auxiliar s , tal que s = x - c t podemos escrever E y = E 0 e - α s 2

∂ s ∂ x d E y d s =   - ∂ s ∂ t d B z d s  

Derivando a expressão de E y e como ∂ s ∂ x = 1 e ∂ s ∂ t = - c :

  - 2 α s E 0 e - α s 2 = c d B z d s

Para saber B z temos que integrar!

B z s =   - E 0 c   ∫ 2 α s e - α s 2 d s = E 0 c e - α s 2  

Voltando da variável s pra variável t :

B → = E 0 c e - α x - c t 2 k ^

Resposta

(I) B = μ 0 a I 2 π R 2

(II) B → = E 0 c e - α x - c t 2 k ^ .

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