Enunciado

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47- Uma espira circular de raio a e resistência R é submetida, inicialmente, a um campo magnético externo que produz um fluxo magnético. A seguir, o campo magnético diminui até zero. Uma corrente é induzida na espira enquanto o campo magnético diminui; contudo, a corrente não é igual a zero no momento em que o campo magnético externo se anula.

A razão disso é que a própria corrente gera um campo magnético que dá origem a um fluxo magnético através da espira. Quando a corrente varia, o fluxo magnético também varia e uma fem induzida surge na espira com sentido oposto a essa variação.

( a ) O campo magnético no centro de uma espira de raio a produzido pela corrente i da espira é dado por B = μ 0 i / 2 a . Se você considerar para o campo magnético em todos os pontos do interior da espira um valor aproximadamente igual a esse qual será o fluxo magnético através da espira?

( b ) Usando a Lei de Faraday, Equação ( 29.3 ) , e a relação ϵ = i R , mostre que, quando o campo magnético externo para de variar, a corrente na espira é dada pela seguinte equação diferencial

d i d t = - 2 R π u 0 a i

( c ) Se a corrente possui um valor i 0 para t = 0 , o instante em que o campo magnético externo para de variar, resolva a equação diferencial do item ( b ) para calcular i em função de t para t > 0 .

(Sugestão: na Seção 26.4 , encontramos uma equação diferencial semelhante, a Equação ( 26.15 ) , para a grandeza q . Você poderá resolver a equação para a grandeza i de modo análogo.)

( d ) Se a espira possui raio a = 50   c m e resistência R = 0.10   Ω , quanto tempo depois que o campo magnético externo parou de variar a corrente na espira será igual a 0.010   i 0 (ou seja, se reduzirá a 1 / 100 de seu valor inicial)?

( e ) Ao resolver os exemplos deste capítulo, desprezamos os efeitos descritos neste problema. Explique por que a aproximação usada é boa?

Passo 1

Sério preciso fazer um desabafo aqui, eu amo as questões desse livro MAS mano, o tamanho delas e o fato deles não darem um espaço entre as letras torna o texto mil vezes mais cansativo de ler. E ainda escrevemos todos os enunciados para ficar nos metadados e nossa sério, cansa um pouco a mais hahasuhausha E o pior é que as respostas muita das vezes são bem pequenas.

Tipo na letra a só queremos o fluxo magnético no centro da espira onde ele já nos deu o campo magnético, e o fluxo magnético é dado por:

ϕ B = B A = μ 0 i 2 a ⋅ π a 2 = μ 0 π i a 2

Por que a área de uma espira circular de área a vale π a 2 , e é sério é só isso hahaha

Passo 2

Na letra b a questão quer que usemos a lei de Faraday com o fluxo magnético que encontramos no passo anterior ou seja:

ϵ = - d ϕ B d t = - d μ 0 π i a 2 d t

ϵ = - μ 0 π a 2 d i d t

Mas como ϵ = i R então:

- μ 0 π a 2 d i d t = i R

Isolando d i / d t teremos:

d i d t = - 2 i R μ 0 a π

O que é que queremos demonstrar. Pois sem o campo magnético externo a corrente induzida tende a diminuir nessa taxa que calculamos.

Passo 3

Na letra c queremos uma equação de i   em relação a t e para isso vamos isolar i e t de forma:

d i d t = - 2 i R μ 0 a π

d i i = - 2 R μ 0 a π d t

Integrando os dois lados nós teremos:

ln ⁡ i = - 2 R μ 0 a π t + c

Fazendo exponencial nos dois lados teremos:

i = e - 2 R μ 0 a π t + c

Fazendo e c = K teremos:

i = K e - 2 R t μ 0 a π

E como para t = 0 i = i 0 então:

i = i 0 e - 2 R t μ 0 a π

Passo 4

Aí na d temos a = 50 × 10 - 2 ,   R = 0.1 e queremos saber depois de quanto tempo que i = 0.01 i 0 , ou seja:

0.01 i 0 = i 0 e - 2 × 0.1 t 4 π × 10 - 7 × 50 × 10 - 2 π

0.01 = e - 101.32 × 10 3 t

Fazendo l n nos dois lados teremos:

ln ⁡ 0.01 = - 101.32 × 10 3 t

t = 4.55 × 10 - 5 s

O que é um tempo bem rápido. Rápido o suficiente para ser ignorado. Isso quer dizer essa corrente de indução é algo bem passageiro.

Resposta

a ) ϕ B = μ 0 π i a 2

c )   i = i 0 e - 2 R t μ 0 a π

d )   t = 4.55 × 10 - 5 s

e )   C o r r e n t e   c e s s a   m u i t o   r a p i d a m e n t e .

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