Introdução a Lei de Faraday

Teoria Completa

Introdução

A Lei de Faraday é de longe a minha favorita. Ela mostra de maneira concisa um resultado muito interessante da teoria eletromagnética.

Antes de enunciar a Lei, vamos falar sobre como os caras perceberam que ela existia. Se você tiver um circuito sem nada, só um arame mesmo:

E resolver passar por ele um campo magnético, teremos um fluxo de campo magnético pela área que o circuito compreende, certo?

Beleza, daí o que os caras descobriram foi: se você variar esse fluxo, surge uma voltagem no circuito! Doidera!!! Você conseguiria acender uma lâmpada sem conectar ela a uma bateria! :O

Ok, então se enuncia a Lei como:

E = - ∂ ϕ [ B ] ∂ t

E : Força eletromotriz (volts) induzida;

ϕ B : Fluxo do campo magnético pela área do circuito.

O que ela diz é: uma variação no fluxo do campo magnético pela área do seu circuito produz uma força eletromotriz nele. Isso é interessante por vários motivos. Um motivo é você não precisar de uma bateria no seu circuito, basta pegar um imã e ficar brincando de afastar e aproximar ele do circuito.

Outro seria converter energia cinética em elétrica, mas isso é papo pra outro dia.

Fluxo Magnético

Vamos avaliar essa joça aqui por partes. A fórmula de fluxo de qualquer coisa nós já conhecemos. Para o campo magnético:

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

A unidade de medida desse fluxo magnético é o weber:

1   w e b e r = 1   W b = 1   T . m 2

E é essa a conta que nós vamos ter que fazer pra depois derivar com respeito ao tempo, e enfiar na fórmula da Lei de Faraday. Felizmente para nós, normalmente essa conta é tranquila. As expressões dos campos com as quais nós trabalhamos geralmente são simples. Podemos dar uma relembrada em Lei de Gauss, pois essa parte é bem parecida =)

Entretanto, isso gera um pequeno problema de compreensão por parte do alunado...

O que acontece, na maioria das vezes (como alguns já estão esperando), é que essa conta dá simplesmente:

ϕ B = B A

Igual acontecia na Lei de Gauss, lembra?

PORÉM, por mais que muitas vezes essa integral resulte em B A , ela NÃO é um cálculo de campo, NEM um cálculo de área. Muita gente confunde isso. Essa integral é um cálculo de FLUXO!

Se você não entendeu, agora vai entender (essa parte é importante, qualquer coisa grita nóis). Se a integral fosse um cálculo de área e de campo, ou seja, o produto B A , o que você me diria se a área e o campo de uma certa configuração fossem constantes? Ah, pela lei:

E = - ∂ B A ∂ t

E = 0

A força eletromotriz teria que ser zero, não? Não necessariamente!!!

Isso acontece porque estamos falando de um produto escalar de dois vetores e não um produto entre números escalares! Na verdade, o fluxo nesse caso será igual a:

ϕ B = B A   c o s ( θ )

Como é um cálculo de fluxo, se nós pegarmos o circuito e começarmos a girar ele:

O que vai acontecer é que o fluxo vai variar! Portanto é um caso em que tanto a área quanto o campo são constantes, mas existe uma variação do fluxo. Essa variação produz uma força eletromotriz no circuito.

Ou seja, já sacou a dificuldade desse assunto, né? Descobrir se o fluxo vai variar ou não. Temos várias maneiras de fazer ele variar, o que você tem que fazer é prestar atenção se B , A ou θ variam.

Faz diferença se o material do circuito é condutor ou isolante?!

Primeiramente, a Lei de Faraday não disse nada a respeito do material do circuito, disse?

Poderia então ser tanto um material condutor puro ( R → 0 ), quanto um material isolante ( R → ∞ ), quanto um material alienígena qualquer, justo?

Perfeito, isso é o que tem que se ter em mente. Agora vamos analisar caso por caso. Uma análise que fizemos lá no começo do curso e que agora vai voltar a ser relevante.

Se tivermos um circuito feito de material isolante e fizermos variar um fluxo de campo magnético por ele haverá necessariamente uma força eletromotriz (voltagem) no circuito.

E se aplicarmos a Lei de Ohm, obtemos uma conclusão já esperada:

V = R I

Vamos tentar descobrir a corrente:

I = V R

Como se trata de um isolante:

I = lim R → ∞ ⁡ V R

I → 0

Ou seja, no caso de um material isolante, embora haja fem induzida, mas não há corrente.

Com um material condutor, já é diferente. Como a resistência é menor, haverá corrente, que será dada por:

I = V R

Show? É basicamente isso, a parada é não esquecer que pode surgir uma voltagem independente do material.

Felizmente, já estudamos todos os conceitos que precisamos para resolver com sucesso uma questão de Lei de Faraday: cálculo de Campo, cálculo de Fluxo, derivação parcial, etc.

E é isso aí, agora é partir pra briga.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ – Prova 2 – 2012.1 – Múltipla Escolha nº6.

Considere três anéis circulares muito finos: (I) um condutor; (II) um isolante, e (III) um com metade condutora e metade isolante. Eles são colocados, em repouso, separadamente, numa região de campo magnético não estacionário, uniforme, perpendicular ao plano do anel. Em que casos surge uma força eletromotriz ao longo do anel?

  1. I
  2. II
  3. III
  4. I e II
  5. I e III
  6. II e III
  7. I, II e III
  8. Nenhum deles
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Passo 1

Pela Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Ou seja, surge uma fem num circuito onde há variação do fluxo magnético. Ela não diz respeito ao material do circuito.

Passo 2

Como os anéis estão numa região de campo magnético não estacionário, existe variação do fluxo magnético. Por conta disso, deve haver fem induzida em todos os três anéis.

Resposta

Letra g

Exercício Resolvido #2

UFRJ – Prova 2 – 2014.2 – Múltipla Escolha nº6.

Considere dois anéis circulares, um condutor e outro isolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos a um campo magnético variável no tempo, perpendicular ao plano dos anéis.

Estando os dois anéis em repouso, em qual deles surgirá uma força eletromotriz induzida? Em qual deles surgirá uma corrente induzida?

a Em nenhum dos anéis. Em nenhum dos anéis.

b Em nenhum dos anéis. Somente no anel condutor.

c Somente no anel condutor. Somente no anel condutor.

d Em ambos os anéis. Somente no anel condutor.

e Em ambos os anéis. Em ambos os anéis.

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Passo 1

De acordo com a lei de Faraday, a f e m induzida é dada por:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Como o fluxo de campo magnético não depende do material a força eletromotriz induzida surgira em ambos os anéis.

Passo 2

Já a corrente induzida é dada por:

I i n d = ε R

Ou seja, esse cara depende do material.

Em um material isolante:

R → ∞

I i n d → 0

Ou seja, não surgirá corrente no anel isolante.

Em um material condutor a resistência não é tão grande, assim I i n d ≠ 0 .

Ou seja, surgirá corrente induzida somente no anel condutor.

A resposta certa é a letra d .

Resposta

d Em ambos os anéis. Somente no anel condutor.

Exercício Resolvido #3

UFRJ – Prova 2 – 2015.1 – Múltipla Escolha nº8

Seja uma superfície esférica S dividida em duas semiesferas S 1 e S 2 por uma espira circular condutora ôhmica C .

Sabendo-se a esfera está numa região onde há um campo magnético B → , que a espira tem uma resistência finita e desprezando qualquer efeito auto indutivo ou capacitivo, podemos afirmar que

a o fluxo de B → através de S 1 é nulo.

b o fluxo de B → através de S 1 é proporcional à corrente induzida na espira C .

c a circulação de B → em torno de C é proporcional à corrente através de S .

d a taxa de variação temporal do fluxo de B → através de S 1 é proporcional à corrente induzida na espira C .

e a taxa de variação temporal do fluxo de B → através de S 1 é nula.

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Passo 1

Vamos analisar cada opção, ok?

a o fluxo de B → através de S 1 é nulo.

O fluxo magnético através de S 1 é dado por:

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

O fluxo magnético só vai ser nulo se B → e d A → forem perpendiculares. Como não há nada no problema que indique isso, a afirmação é falsa.

Passo 2

b o fluxo de B → através de S 1 é proporcional à corrente induzida na espira C .

Na verdade, a corrente induzida é proporcional à f e m induzida, que é proporcional à taxa de variação do fluxo magnético. Logo:

I i n d ∝ ∂ ϕ B ∂ t

A afirmação é falsa.

Passo 3

c a circulação de B → em torno de C é proporcional à corrente através de S .

A circulação de B → através de C é dada pela lei de Ampère:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Mas ela seria válida se houvesse alguma corrente através de S , logo, a afirmação é falsa.

Passo 4

d a taxa de variação temporal do fluxo de B → através de S 1 é proporcional à corrente induzida na espira C .

Opa! Essa já matamos lá em cima. Já havíamos concluído que:

I i n d ∝ ∂ ϕ B ∂ t

A afirmação é verdadeira.

A resposta certa é a letra d .

Passo 5

e a taxa de variação temporal do fluxo de B → através de S 1 é nula.

Essa cai no mesmo caso da letra a .

A afirmação é falsa.

Resposta

d a taxa de variação temporal do fluxo de B → através de S 1 é proporcional à corrente induzida na espira C .

Exercício Resolvido #4

UFRJ – Prova 2 – 2015.1 – Múltipla Escolha nº9.

Uma espira circular de área A é atravessada por um campo magnético uniforme que oscila periodicamente no tempo. As dependências temporais dos campos I (curva cheia) e I I (curva pontilhada) estão ilustradas nas figuras abaixo.

A f e m máxima e o fluxo máximo de campo magnético se dão, respectivamente, nas situações

a I e I I .

b I I e I .

c I e I .

d I I e I I .

e Para determinarmos a f e m máxima e o fluxo máximo precisaríamos conhecer a resistência oferecida pelas espiras.

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Passo 1

Analisando os gráficos, podemos notar algumas coisas.

A primeira delas é que as equações dos campos terão mais ou menos essa cara:

B 1 t = B 1 m á x cos ⁡ ω 1 t

B 2 t = B 2 m á x cos ⁡ ω 2 t

Onde B 1 m á x = 2 e B 2 m á x = 1 . Logo:

B 1 t = 2 cos ⁡ ω 1 t

B 2 t = cos ⁡ ω 2 t

Além disso, podemos relacionar as frequências ω 1 e ω 2 através dos períodos dos gráficos.

λ 1 = 3 λ 2 → f 1 = f 2 3

ω 1 = ω 2 3 → ω 2 = 3 ω 1

Portanto:

B 1 t = 2 cos ⁡ ω 1 t

B 2 t = cos ⁡ 3 ω 1 t

Agora podemos trabalhar.

Passo 2

A f e m induzida é proporcional à variação do fluxo magnético. Mas como a área é constante, a f e m induzida será proporcional à variação do campo magnético.

Sendo assim:

ε 1 ∝ ∂ B 1 t ∂ t → ε 1 ∝ - 2 ω 1 sen ⁡ ω 1 t

ε 1 m á x ∝ 2 ω 1

ε 2 ∝ ∂ B 2 t ∂ t → ε 2 ∝ - 3 ω 1 sen ⁡ 3 ω 1 t

ε 2 m á x ∝ 3 ω 1

Assim, ε 2 m á x > ε 1 m á x .

Logo, o gráfico I I representa a f e m máxima.

Passo 3

O fluxo magnético é proporcional ao campo magnético, logo:

ϕ 1 B ∝ B 1 t → ϕ 1 B ∝ 2 cos ⁡ ω 1 t

ϕ 1 m á x B ∝ 2

ϕ 2 B ∝ B 2 t → ϕ 2 B ∝ cos ⁡ 3 ω 1 t

ϕ 2 m á x B ∝ 1

Assim, ϕ 1 m á x B > ϕ 2 m á x B