Exercícios Resolvidos de Introdução a Lei de Faraday

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Enunciado

A figura abaixo mostra um fio condutor retilíneo, conduzindo uma corrente

I t = I 0 sen ⁡ ω t

O fio é coplanar a uma bobina retangular com N espiras compactas. A bobina possui resistência R . O fluxo ϕ m do campo magnético B t gerado pelo fio através de uma espira da bobina é dado por ϕ m = C I t , onde C não depende do tempo.

b ) Calcule a potencia instantânea P t dissipada na bobina.

c ) Calcule o fluxo ϕ m e, através dele, determine o valor da constante C em termos de μ 0 , l , h e w .

Passo 1

b ) Calcule a potencia instantânea P t dissipada na bobina.

A potência dissipada na espira é dada por:

P t = ε 2 R

Então, o nosso trabalho aqui é calcular a f e m induzida na espira ε . Para isso, teremos que recorrer à Lei de Faraday, dada por:

ε = - ∂ ϕ [ B ] ∂ t

Como ϕ m é o fluxo magnético através de uma espira, ϕ B = N ϕ m . Portanto:

ε = - ∂ ∂ t N ϕ m

Substituindo a expressão de ϕ m dada pelo enunciado, teremos:

ε = - ∂ ∂ t N C I t

Substituindo a expressão de I t , teremos:

ε = - ∂ ∂ t N C I 0 sen ⁡ ω t = - N C I 0 ∂ sen ⁡ ω t ∂ t

ε = - ∂ ∂ t N C I 0 sen ⁡ ω t = - N C I 0 ω cos ⁡ ω t

Agora, sim!

Finalmente, voltando para a potência, teremos:

P t = ε 2 R = - N C I 0 ω cos ⁡ ω t 2 R

P t = N 2 C 2 I 0 2 ω 2 cos 2 ⁡ ω t R

Passo 2

c ) Calcule o fluxo ϕ m e, através dele, determine o valor da constante C em termos de μ 0 , l , h e w .

Por definição, o fluxo magnético ϕ m através de uma espira será:

ϕ m = ∬ S   B → ∙ d A →

Podemos simplificar isso para:

ϕ m = ∬ S   B   d A

Onde B é o campo magnético gerado pelo fio na espira, dado por:

B r = μ 0 I t 2 π r

E d A é o elemento infinitesimal da área. Nesse caso, d A = l   d r .

Onde h < r < h + w . Portanto:

ϕ m = ∫ h h + w μ 0 I t 2 π r   l   d r = μ 0 I t l 2 π ∫ h h + w d r r

Integrando esse cara, teremos:

ϕ m = μ 0 I t l 2 π ln ⁡ r h h + w

ϕ m = μ 0 I t l 2 π ln ⁡ h + w h

Passo 3

De acordo com o enunciado, ϕ m = C I t , portanto:

C I t = μ 0 I t l 2 π ln ⁡ h + w h

Finalmente:

C = μ 0 l 2 π ln ⁡ h + w h

Resposta

b )

P t = N 2 C 2 I 0 2 ω 2 cos 2 ⁡ ω t R

c )

ϕ m = μ 0 I t l 2 π ln ⁡ h + w h

C = μ 0 l 2 π ln ⁡ h + w h

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