Exercícios Resolvidos de Introdução a Lei de Faraday

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Enunciado

A superfície matemática fechada S no formato de um cubo de lado a mostrada na figura está numa região do espaço onde existe um campo elétrico E → = C z 3 k ^ . Use as equações de Maxwell apropriadas para resolver os itens abaixo.

(a) (1,0 ponto) Calcule o fluxo do campo elétrico através das faces do cubo. Quanta carga existe dentro do cubo?

(b) (0,5 ponto) Calcule a densidade de carga dentro do cubo.

(c) (1,0 ponto) Na região em que se encontra o cubo pode existir um campo magnético B → = D x   i ^ , onde D > 0 é uma constante? Justifique.

Passo 1

O fluxo do campo elétrico é dado por:

Φ E = ∮ S E → ∙ d A → = ∮ S E z k ^ ∙ n ^   d A .

As faces laterais do cubo não contribuem para o cálculo do fluxo, já que nestas o campo elétrico E → é ortogonal ao vetor normal n → e, portanto, E → ∙ n → = 0 .

Passo 2

Na face inferior, A B C O , z = 0 e, portanto, E → = C z 3 k ^ = 0 → . Ou seja, esta face também não contribui para o cálculo do fluxo.

Passo 3

Nos resta apenas a face superior E F G D para calcular o fluxo. Temos, então:

Φ E = ∮ E F G D E → ∙ d A → = ∮ E F G D C a 3 k ^ ∙ k ^   d A ,

Φ E = C a 3 ∮ E F G D d A = C a 5 .

Passo 4

Até agora, calculamos o fluxo elétrico Φ E dentro do cubo. Para calcular a carga interna, utilizamos a primeira equação de Maxwell, que nada mais é do que a lei de Gauss para o campo elétrico:

Φ E = ∮ S E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0 .

Usando a equação acima, chegamos em:

Q i n t = Φ E ϵ 0 = ϵ 0 C a 5 .

Passo 5

Para o item (b), utilizamos a lei de Gauss na sua forma diferencial, ou seja:

∇ → ∙ E → = ρ ϵ 0 .

Assim sendo, calculamos a densidade de carga ρ como:

ρ = ϵ 0 ∇ → ∙ E → = ϵ 0 ∂ E z ∂ z ,

Já que E → possui apenas a componente z , E z = C z 3 . Logo,

ρ = 3 ϵ 0 C z 2 .

Passo 6

Para o item (c), vamos olhar para a forma diferencial da lei de Gauss para o campo magnético:

∇ → ∙ B → = 0 .

Temos:

B → = D x   i ^ ,

∇ → ∙ B → = ∂ B x ∂ x = D .

Ou seja, ∇ → ∙ B → = D ≠ 0 .

Portanto, um campo magnético da forma B → = D x   i ^ não poderia existir na região em que se encontra o cubo, pois este violaria a lei de Gauss.

Resposta

(a) O fluxo do campo elétrico através das faces do cubo é dado por:

Φ E = C a 5 .

A carga existente dentro do cubo é dada por:

Q i n t = ϵ 0 C a 5 .  

(b) A densidade de carga dentro do cubo é dada por:

ρ = 3 ϵ 0 C z 2 .

(c) Um campo magnético da forma B → = D x   i ^ não poderia existir na região em que se encontra o cubo, pois este violaria a lei de Gauss.

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