Enunciado

10.31 Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo y .

Passo 1

Falaa galerinha do RespodenAi, tudo beleza??

Saca só, o macete nesse exercício aqui, é a gente separar essa área da seção transversal em 4 retângulos, desse jeito ó:

O momento de inércia total será a soma dos momentos de inercia desses quatro retângulos. Além disso, podemos observar que os momentos de inércia dos retângulos que estão na horizontal vão ser iguais, assim como os momentos de inercia dos que estão na vertical, pois eles tem as mesmas medidas e distâncias até eixo y .

Belezoca, então bora descobrir esses momentos de inércia pra gente poder somar.

Passo 2

Sabemos que o momento de inércia em relação ao eixo y do centroide de um retângulo é dado como:

I y = 1 12 h b 3

Para os retângulos em vermelho, temos que o eixo y do seu centroide coincide exatamente com o eixo y da seção transversal da figura, de modo que para um retângulo vermelho, teremos:

I y = 1 12 15   mm 12 0   mm 3

I y = 2   16 0   000   m m 4

Como temos dois retângulos em vermelho com o mesmo momento de inércia em relação a y , teremos que:

I 1 = 2 2   160   000   m m 4

I 1 = 4   32 0   000   m m 4

Passo 3

Iradoso, agora para os retângulo em verde, temos que o eixo y do seu centroide, não coincide com o eixo y que desejamos encontrar o momento de inércia. Isso quer dizer que vamos precisar encontrar seu momento de inércia através do teorema dos eixos paralelos, dado como:

I y = I - y + A d x 2

Onde I - y é o momento de inércia em relação ao centroide, enquanto que d x é a distância entre os eixos paralelos e A a área da figura. Como I - y é tabelado e dado como:

I - y = 1 12 h b 3

E d x é dado por 67,5   mm , obtemos que para um retângulo em vermelho, seu momento de inércia será:

I y = 1 12 h b 3 + A 67,5 2

I y = 1 12 30 0 15 3 + 30 0 15 67,5 2

Logo:

I y = 20   5 87   5 0 0   m m 4

E como são dois retângulos verdes com o mesmo momento de inércia, teremos:

I 2 = 2 20   587   500     m m 4

I 2 = 41   1 7 5   0 00   m m 4

Passo 4

Maravilha, então agora que temos o momento de inércia de todas as figuras, é só a gente somar algebricamente, de maneira que o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo y será dado como:

I y = I 1 + I 2

Portanto:

I y = 4   320   000   m m 4 + 41   175   000   m m 4

I y = 45   495   000   m m 4

I y = 45 , 5 1 0 6 m m 4  

Resposta

I y = 45,5 1 0 6 m m 4  

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