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Determine o momento de inércia da área sombreada em relação o eixo y .

Passo 1

Falaa! Ele quer o momento de inércia da área em relação a y . A fórmula do momento de inércia em relação ao eixo y é

I y = ∫ A x 2 d A

O que a gente precisa fazer é motar essa integral. Vem ver como!

Nós precisamos escolher um retângulo bem fininho paralelo a y que esteja contido na nossa área, que chamamos de elemento infinitesimal de área. A carinha dele:

Repara que a altura dele é a diferença entre a altura total da nossa área que vale 1 e y , que é altura do ponto onde nosso retângulo começa.

Então nosso elemento tem altura 1 - y e largura d x . Por isso o elemento infinitesimal de área vai ser igual a

d A = 1 - y d x

Como ali a gente tem um d x , precisamos colocar todo d A em função de x . Precisamos então de y em função de x . Lembra que ele nos deu uma função que representa essa curva azul:

y 3 = x 2

y = x 2 / 3

Então

d A = 1 - x 2 / 3 d x

Passo 2

Agora é só reolver a integral

I y = ∫ A x 2 d A

I y = ∫ A x 2 1 - x 2 / 3 d x

Quem vão ser os extremos de integração? Vai ser o intervalo de x que contém nossa área, já que temos d x na integral. Percebe que esse intervalo é

0 ≤ x ≤ 1

Então:

I y = ∫ 0 1 x 2 ∙ 1 - x 2 3   d x

I y = ∫ 0 1 x 2 - x 8 3   d x

I y = x 3 3 - 3 1 x 11 3 0 1

I y = 1 3 - 3 11  

I y = 0,0606   m 4

Resposta

I y = 0,0606   m 4

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