Enunciado

10.46 Determine o momento de inércia da área composta em relação ao eixo centroidal y .

Passo 1

Vamos separar essa área desse jeito:

O momento de inércia total será a soma dos momentos de inercia dos triângulos 1 e do retângulo 2, menos o momento de inercia do retângulo 3.

I y = I y 1 + I y 2 - I y 3

Pela tabela, sabemos que o momento de inércia de um triângulo é igual a 1 36 h b 3 , podemos observar que os dois triângulos estão em lados opostos do eixo e tem o mesmo tamanho e distância do eixo y até seu centroide, precisamos usar o teorema dos eixos paralelos. Então o momento de inercia dos dois triângulos 1 é:

I y 1 = 2 ⋅ 1 36 h 1 b 1 3 + A 1 d 1 2

Também pela tabela, nós sabemos que o momento de inercia de um retângulo é igual a 1 12 h b 3 , não precisamos utilizar o teorema dos eixos paralelos para nenhum dos dois retângulos, pois seus centroides coincidem com o eixo y , então o momento de inercia ira ficar:

I y 2 = 1 12 h 2 b 2 3

e

I y 3 = 1 12 h 3 b 3 3

Passo 2

A área da base e a altura dos retângulos e do triângulo o exercícios nos dá. A distância até o centroide de cada triângulo é facinho de calcular, assim como sua área:

d 1 = 150 3

d 1 = 50   m m

A área vai ser:

A 1 = b h 2

A 1 = 1 2 150 240

Vamos calcualr os três momentos de inercia e então soma-los:

Triângulos 1:

I y 1 = 2 ⋅ 1 36 h 1 b 1 3 + A 1 d 1 2

I y 1 = 2 ⋅ 1 36 240 150 3 + 1 2 150 240 50 2

I y 1 = 135 ⋅ 10 6   m m 4

Para os retângulos é legal reparar que seus centroides já estão alinhados com o eixo y , portanto, não é necessário aplicar o teorema dos eixos paralelos.

Retângulo 2:

I y 2 = 1 12 h 2 b 2 3

I y 2 = 1 12 450 300 3

I y 2 = 1012,5 ⋅ 10 6   m m 4

Retângulo 3:

I y 3 = 1 12 350 200 3

I y 3 = 233,3 ⋅ 10 6   m m 4

Então, somando os três valores, vamos obter:

I y = 135 ⋅ 10 6 + 1012,5 ⋅ 10 6 + 233,3 ⋅ 10 6

I y = 914 ⋅ 10 6   m m 4

Resposta

I y = 914 ⋅ 10 6   m m 4

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