Enunciado

10.57 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x .

Passo 1

Vamos dividir essa área em 8 retângulos:

Mas perceba que temos:

2 retângulos iguais, na horizontal, que chamamos de 1

4 retângulos iguais na vertical, que chamamos de 2

e 2 retângulos iguais na vertical, que chamamos de 3

Além de eles terem seus tamanhos iguais a distância de seus centroides até o eixo x é igual, por essa razão, só precisamos calcular 3 momentos de inercia diferentes e multiplicar pela quantidade de retângulos de cada momento de inercia.

O momento de inercia total, será a soma do momento de inercia desses oito retângulos.

I x = 2 I x 1 + 4 I x 2 + 2 I x 3

O momento de inercia de um retângulo, em relação ao eixo x , é igual a 1 12 b h 3 . Como o centroide do retângulo 3 passa pelo eixo x , não será necessário usar o teorema dos eixos paralelos para ele, já para 1 e 2 será necessário:

I x = 2 1 12 b h 3 + A d 2 x 1 + 4 1 12 b h 3 + A d 2 x 2 + 2 1 12 b h 3 x 3

Passo 2

Precisamos da área dos retângulos 1 e 2:

A 1 = b 1 ⋅ h 1

A 1 = 2 26 1 2

A 1 = 2 712   m m 2

e

A 2 = b 2 ⋅ h 2

A 2 = 12 100

A 2 = 1200   m m 2

A distância do centroide até o eixo é fácil de calcular, olhando para a imagem a gente observa que:

d 1 = 25 + 100 - 12 2

d 1 = 119   m m

d 2 = 25 + 10 0 2

d 2 = 75   m m

A base e a altura do retângulo 3 nós podemos observar na imagem:

b 3 = 12   m m

h 3 = 15 0   m m

Pra não ficar com uma equação muito grande vamos calcular os momentos de inercia de 1, 2 e 3 separadamete e depois somalos.

Rentângulos 1:

I x 1 = 1 12 226 12 3 + 2712 119 2

I x 1 = 38,44 ⋅ 10 6   m m 4

Rentângulos 2:

I x 2 = 1 12 1 2 1 00 3 + 1 2 00 75 2

I x 2 = 7,75 ⋅ 10 6   m m 4

Rentângulos 3:

I x 3 = 1 12 1 2 1 50 3

I x 3 = 3,3 8 ⋅ 10 6   m m 4

Agora substituindo na equação do momento de inercia total:

I x = 2 I x 1 + 4 I x 2 + 2 I x 3

I x = 2 3 8 , 44 ⋅ 10 6 + 4 7,75 ⋅ 10 6 + 2 3,38 ⋅ 10 6

I x = 114,6 ⋅ 10 6   m m 4

Resposta

I x = 114,6 ⋅ 10 6   m m 4

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