Enunciado

106. O coeficiente de atrito estático μ s é o mesmo entre o bloco   B e a superfície horizontal e entre a corda e o suporte C . Sabendo que m A = m B , determine o menor valor de μ s   para que o equilíbrio seja mantido.

Passo 1

Bom! Antes de mais nada, a primeira coisa que temos que fazer é o esboço do nosso sisteminha, com as forças que nele estão presentes, o chamado “diagrama de corpo livre”.

Baseado nessa análise, vamos antes de mais nada, obter o valor de alguns esforços presentes na figura:

Para isso, façamos primeiro o somatório das forças em y para o corpo em B :

↑ + ∑ F y = 0

N B - W B = 0

N B = W B

E como a força de atrito,   F B , é o produto do coeficiente de atrito estático pela força de reação normal:

  F B = μ s N B = μ s W B

Pra não perder a viagem, bora aproveitar e fazer o somatório das forças em x , também:

→ + ∑ F y = 0

  F B -   T B = 0

  F B =   T B = μ s W B

Pronto! Obtemos algumas relações interessantíssimas!

Passo 2

Em seguida, vamos usar a seguinte equação para problemas que envolvem atritos em condição de deslizamento:

T 2 T 1 = e β μ s

Onde T 2 , é a maior tração, e T 1 , é a menor tração. Só que a questão nos pede para determinar a menor massa do bloco B para que o equilíbrio seja mantido. Para isso, vamos analisar o suporte em C .

Bom!! A tendência é do corpo A cair aceleradamente. Isso ocorre, obviamente quando W A é maior do que T B . Vamos seguir esse raciocínio.

Passo 3

Bora lá! Para o nosso caso, a maior força é W A e a menor força é T B . Ficamos então, com a seguinte relação:

T 2 T 1 = e β μ s

W A T B = e β μ s

Bom! Nós queremos ok coeficeiente de atrito estático, μ s . E o ângulo β , da figura do P a s s o   1 , tiramos que vale 90 ° ou π / 2   radianos. Obtemos, desse modo, a seguinte relação:

W A T B = e β μ s

T B = W A e π μ s / 2

μ s W B = W A e π μ s / 2

Mas a questão não nos fala que m A = m B ? Sendo assim, W A = W B e ficamos com:

μ s = 1 e π μ s / 2

μ s e π μ s / 2 = 1

μ s e π μ s / 2 = 1

Xiiii. E agora? Complicou, né não?

Realmente a coisa ficou um pouco mais difícil. Mas será que não tem um jeito de escrever aquela função exponencial de um jeito um pouco mais simples. A resposta é que tem, sim. Lembra lá da série de Taylor da função e x :

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Sendo assim, e π μ s / 2 ficariam assim:

e π μ s / 2 = 1 + π 2 μ s + π 2 8 μ s 2 … +

e π μ s / 2 ≈ 1 + π 2 μ s

Vamos agora, substituir essa nova relação na fórmula que obtemos anteriormente de modo a ficarmos com uma equação polinomial mais simplificada:

μ s e π μ s / 2 = μ s 1 + π 2 μ s = 1

μ s + π 2 μ s 2 = 1

π 2 μ s 2 + μ s - 1 = 0

E seguindo a velha cartilha para obter as raízes de uma equação do segundo grau através da fórmula abaixo:

μ s = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

μ s = - 1 ± 1 2 - 4 ⋅ π 2 ⋅ ( - 1 ) 2 ⋅ π 2

Como só queremos o valor positivo, então:

μ s ≅ 0,475

Resposta

μ s ≅ 0,475

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