Enunciado

106- Determine a força e o momento de reação no apoio A para a viga engastada que está submetida a uma carga distribuída senoidal.

Passo 1

Para encontrar a força resultante por esse tipo de carregamento primeiramente precisaremos encontrar sua equação. Uma equação senoidal é escrita da seguinte forma:

w = A s e n w n t + c

Onde A é a amplitude, que é o maior valor que esse seno pode chegar, que no caso será w 0 .

O valor de c será o valor no qual a função cruza o eixo de y , ou no caso o valor no nó A. Que será 0.

E w n a frequência angular, que é mede o quanto rápido uma onde é para completar um ciclo. Nesse caso ele demora 2 l para completar um ciclo de 2 π radianos, ou um l para completar π radianos, logo (parece estranho mas como o seno depende da distância e não do tempo então a equação se satisfaz da mesma forma):

w n = π l

Logo a equação da carga fica:

w = w 0 s e n   π l   x

Passo 2

Calculando a área desse seno então:

F = ∫ 0 l w 0 s e n   π l x d x

Aplicando a substituição:

u = π l x

d u = π l   d x → d x = l π d u

E o intervalo fica:

Para x = 0 :

u = π l × 0 = 0

Para x = l

u = π l × l = π

Logo nossa integral fica:

F = l π ∫ 0 π w 0 s e n   u   d u

F = l w 0 π [ - cos ⁡ u ] 0 π = w 0 l π [ - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 ] = 2 w 0 l π

Como a carga aponta para baixo, logo a resistência do engaste tem o mesmo valor e aponta para cima.

Passo 3

Pela simetria da função seno, podemos de cara dizer que a força estará centralizada em:

x - = l 2

Logo o momento resultante será de:

M = 2 w 0 l π × l 2 = w 0 l 2 π

E como a força aponta para baixo, o momento causado por ela terá sentido horário, logo o engaste terá resistência com o mesmo módulo só que com sentido anti-horário, senão a barra torceria.

Resposta

R a = 2 w 0 l π

M a = w 0 l 2 π

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