Enunciado

121. Determine o componente projetada da força de 80   N que atua ao longo do eixo A B do tubo.

Passo 1

A projeção de um vetor sobre o outro é dada pela fórmula:

P r o j   A → = A → ⋅ B → B →

Então para usarmos essa fórmula no nosso caso, precisamos achar F → , que nada mais é que a força dada na forma vetorial e A B → e seus módulos.

Achar   A B → é fácil já que temos as coordenadas de A e B .

Para achar a força na forma vetorial, precisamos de um vetor unitário que tenha mesma direção que a força. Para achar esse vetor temos que da uma olhadinha na figura e reparar que o prolongamento do da seta da força toca o eixo z , com isso ganhamos um segundo ponto que chamaremos de E .

Com isso temos as coordenadas de E e A e podemos encontrar um vetor A E → e a parti dele achar o vetor unitário que queremos, da seguinte maneira:

  u A E → =   A E →   A E →

Passo 2

Primeiro vamos achar A B → , como temos as coordenadas de A e B fica fácil.

A = 6 i + 7 j - 2 k

B = 0 i + 4 j + 0 k

Logo:

A B → = - 6 i - 3 j + 2 k

Passo 3

Agora vamos achar A E → e seu módulo, como temos as coordenadas de A e E fica fácil.

A = 6 i + 7 j - 2 k

E = 0 i + 0 j - 12 k

Logo:

A E → = - 6 i - 7 j - 10 k

E seu módulo é dado por:

A E → = 36 + 49 + 100

= 185

= 13,60

Passo 4

Agora vamos calcular o vetor unitário   u A E → e em seguida botar a força na forma vetorial.

  u A E → =   A E →   A E →

= - 6 i - 7 j - 10 k 13,60

= - 0,441 i - 0,514 j - 0,735 k

Então nossa força na forma vetorial fica:

  F → = 80 - 0,441 i - 0,514 j - 0,735 k

= - 35,28 i - 41,12 j - 58,8 k

Passo 5

Agora temos tudo do que precisávamos para calcular a projeção de F em A B , vamos lá então:

P r o j   F → = F → ⋅ A B → A B →

= - 35,28 i - 41,12 j - 58,8 k ⋅ - 6 i - 3 j + 2 k 36 + 9 + 4

= 211,68 + 123,36 - 117,6 7

Então temos que:

P r o j   F → = 31,06   N

Resposta

P r o j   F → = 31,06   N

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