Enunciado

123. O disco circular maciço de massa m e pequena espessura está girando livremente sobre seu eixo à taxa p . Se o conjunto é liberado na posição vertical em θ = 0 com θ ˙ = 0 , determine as componentes horizontais das forças A e B exercidas pelos respectivos mancais sobre o eixo horizontal quando a posição θ = π / 2   é atingida. Despreze a massa dos dois eixos em comparação com m e despreze todo o atrito. Resolva utilizandos as equações de momento apropriadas.

Passo 1

Primeiramente vamos fazer a representação do nosso sistema, posicionando-o em três eixos coordenados de forma a auxiliar nossa interpretação:

Passo 2

Uma vez que do enunciado, tiramos que a velocidade de precessão terá o seguinte valor:

ψ ˙ = 0

E sua derivada, consequentemente:

ψ ¨ = 0

Como podemos ver na figura que esboçamos, temos que fazer o somatório dos momentos em relação a três direções. Como já obtemos que a velocidade de precessão e sua derivada, valem zero, as equações de momento da parte 7.26 podem ser simplificadas como:

∑ M x = I 0 θ ¨

∑ M y = I θ ˙ p

∑ M z = I p ˙

Logo, primeiro para a direção em x , temos que:

∑ M x = I x x θ ¨

E qual é mesmo o momento que está presente no eixo x ? Bem! Se olharmos a figura do P a s s o   1 , veremos que a única forca que gera momento nesse eixo é o peso m g , de forma que o momento resultante é o produto da força pela distância ( l sen ⁡ θ ) . Em relação ao momento de inércia, como o eixo x é paralelo ao disco e está a uma distância l desse eixo temos então a seguinte relação:

m g l sen ⁡ θ = 1 4 m r 2 + m l 2 θ ¨

θ ¨ = 4 g l sen ⁡ θ r 2 + 4 l 2

I x x é o nosso I 0 , dado por:

I x x = I 0 = 1 4 m r 2 + m l 2

Agora para a direção y , façamos:

∑ M y = I y y θ ˙ p

No eixo y , as coisas são bem diferentes porque o momento está sendo gerado pelas forças de reação A z e B z , que estão a uma distância l desse eixo, de modo que ficamos com:

A z b - B z b = - 1 2 m r 2 θ ˙ p

Ahhhh! I y y é o nosso momento I , que é dado por:

I y y = I = 1 2 m r 2

Finalmente, façamos o somatório de momentos no eixo z . A grande questão é que momentos são esses, uma vez que não estão agindo nenhum nesse eixo. Ficamos então, com:

∑ M z = I z z p ˙

0 = I z z p ˙

Já que obviamente vai existir um momento de inércia em relação ao eixo z , e ele existe, sendo igual a I = 1 2 m r 2 , temos que a única possibilidade do momento em z dar zero é que:

p = ω g i r o = c o n s t a n t e

Passo 3

Agora, usemos a seguinte relação:

θ ˙ d θ ˙ = θ ¨ d θ

E se temos diferencial nos dois lados, partiu usar a integral. Como a integral do diferencial d θ tende a nos fornecer um ângulo, vamos usar os limites de integração variando de 0 até π / 2 como diz a questão. Para a aprte da relação com o diferencial d θ ˙ , temos que usar os limites de integração variando de 0 até θ ˙ , que é o ângulo que a integração desse diferencial tende a fornecer:

∫ 0 θ ˙ θ ˙ d θ ˙ = ∫ 0 π 2 θ ¨ d θ

Mas do P a s s o   1 , sabemos que:

θ ¨ = 4 g l sen ⁡ θ r 2 + 4 l 2

Logo, substituindo esse valor na integral, obtemos que:

∫ 0 θ ˙ θ ˙ d θ ˙ = ∫ 0 π 2 4 g l sen ⁡ θ r 2 + 4 l 2 d θ

r 2 + 4 l 2 4 ∫ 0 θ ˙ θ ˙ d θ ˙ = ∫ 0 π 2 g l s en ⁡ θ d θ

r 2 + 4 l 2 4 ∫ 0 θ ˙ θ ˙ d θ ˙ = - g l cos ⁡ θ 0 π 2

( r 2 + 4 l 2 ) ∫ 0 θ ˙ θ ˙ d θ ˙ = 8 g l

θ ˙ 2 = 8 g l ( r 2 + 4 l 2 )  

Voltemos então, à seguinte relação que obtivemos no P a s s o   2 :

A z b - B z b = - 1 2 m r 2 θ ˙ p

- A z + B z = 1 2 m r 2 b θ ˙ p

E também para θ = π 2 , façamos o somatório das forças na direção z :

∑ F z = m a - z

- A z - B z = m l θ ˙ 2

Combinando em seguida, as duas equações anteriores, obtemos o sistema:

- A z + B z = 1 2 m r 2 b θ ˙ p   ( I ) - A z - B z = m l θ ˙ 2   ( I I )

Somando ( I ) e ( I I ) , alcançamos que:

- 2 A z = 1 2 m r 2 b θ ˙ p + m l θ ˙ 2

A z = - m θ ˙ 2 r 2 p 2 b + l θ ˙

Substituindo em seguida, A z na equação ( I I ) , obtemos o valor de B z como:

- A z - B z = m l θ ˙ 2

m θ ˙ 2 r 2 p 2 b + l θ ˙ - B z = m l θ ˙ 2

B z = m θ ˙ 2 r 2 p 2 b - l θ ˙

E não podemos nos esquecer que:

θ ˙ 2 = 8 g l ( r 2 + 4 l 2 )

E consequentemente:

θ ˙ = 8 g l ( r 2 + 4 l 2 )

Resposta

A z = - m θ ˙ 2 r 2 p 2 b + l θ ˙ ; θ ˙ = 8 g l ( r 2 + 4 l 2 )

B z = m θ ˙ 2 r 2 p 2 b - l θ ˙ ; θ ˙ = 8 g l ( r 2 + 4 l 2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O cilindro semicircular maciço de massa m gira em torno do eixo z como uma velocidade angular ω conforme indicado. Determine a sua quantidade de momento angular H em relação aos eixos x-y-z.
Cada uma das hastes esbeltas de comprimento l e massa m está soldada ao disco circular que gira em torno do eixo vertical z com uma velocidade angular ω . Cada haste faz um ângulo β com a vertical e e
O conjunto que consiste na esfera maciça de massa m e na barra uniforme de comprimento 2c e massa igual m, gira em torno do eixo vertical z com uma velocidade angular ω . A barra de comprimento 2c tem
Em um teste dos painéis solares para uma nava espacial, o modelo apresentado está girando em torno do eixo vertical na velocidade angular ω . Se a massa por unidade de área do painel é ρ , escreva a e
Utilize os resultados do Prob. 7/55 e determine a quantidade de movimento angular H g dobrada daquele problema em relação ao seu centro de massa G utilizando os eixos de referência fornecidos.