Enunciado

138- A viga está submetida aos dois carregamentos semelhantes mostrados, nos quais a máxima intensidade de carga vale w 0 , em força por unidade de comprimento. Desenvolva expressões para o cortante V e o momento M na viga em termos da distância x medidade desde o centro da viga.

Passo 1

Para escrever a equação da carga devemos nos atentar que o eixo x começa no meio da viga o que nos dá um valor igual a w 0 em x = l / 2 e w = 0 em x = 0 . Logo a nossa reta de carga é igual a:

w = 0 + 2 w 0 l x

Agora vamos descobrir as reações nos apoios.

A área de um dos triângulos equivale a força aplicada por elas na viga, que será de:

F r 1 = w 0 × l 2 2 = w 0 l 4

E essa força, para o triângulo da direita, encontra-se a uma posição da barra igual a:

x - = 2 3 × l 2 = l 3  

Logo a nossa viga equivalente fica da seguinte maneira:

Passo 2

Fazendo a somatória das forças verticais serem iguais a zero nós encontramos:

R a = R b

Agora fazendo a somatória dos momentos em A ser zero nós teremos (sentido horário sendo positivo):

- w o l 4 × l 2 - l 3 + w o l 4 l 3 + l 2 - R b × l = 0

R b l = - w 0 l 4 × l 6 + w 0 l 4 × 5 l 6

Logo:

R b = w 0 l 6 = R a

Passo 3

Já podemos começar a estipular a equação da cortante e do momento fletor da seguinte maneira:

A somatória das forças verticais no intervalo indo de - l / 2 até x nos daria:

- w 0 l 6 - ∫ - l / 2 x 2 w 0 l x d x - V = 0

Onde nossa cortante inicial é negativa, pois está na direção contrária da direção padronizada. E como o intervalo começa em - l / 2 e vai até x logo o sua integral assumirá o mesmo valor.

- w 0 l 6 - w 0 x 2 l - l 2 x = V

- w 0 l 6 - w 0 x 2 l + w 0 l 2 4 l = V

V = w 0 l 12 - w 0 x 2 l

E a equação da cortante valerá:

∫ - l / 2 x w 0 l 12 - w 0 x 2 l - M = 0

Uma vez que não temos momento inicial igual a zero.

w 0 l x 12 - w 0 x 3 3 l - l / 2 x = M

M = w 0 l x 12 + w 0 l 2 24 - w 0 x 3 3 l - w 0 l 2 24

M = w 0 l x 12 - w 0 x 3 3 l

Resposta

V = w 0 l 12 - w 0 x 2 l

M = w 0 l x 12 - w 0 x 3 3 l

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