Enunciado

143- A viga sustenta uma carga unitária uniforme w . Determine a posição x dos dois apoios de modo a minimizar o momento fletor máximo M m a x na viga. Especifique o valor de M m a x .

Passo 1

A força resultante pela carga retangular na viga é de:

F r = w L

E como os dois apoios estão simétricas ao meio da barra nós temos nas reações duas forças iguais a:

R 1 = R 2 = w L 2

Onde o apoio da esquerda chamei de 1 o apoio da esquerda e 2 o apoio da direita.

Então podemos escrever a viga da seguinte forma:

Passo 2

Dessa forma conseguimos determinar o diagrama cortante da viga analisando os retângulos marcados por números:

Para o retângulo 1 que analisa a seção indo de 0 até x temos uma cortante igual a:

0 - ∫ 0 x w d x - V = 0

Logo a cortante nessa seção vale :

V = - w x

Logo o momento fletor no final dessa seção valerá:

M = - w x 2 2

Para o intervalo retângulo 3 temos uma similaridade a equação da cortante vendo da direita pra esquerda é de:

V - w x = 0

V = w x

E o momento fletor em L - x será:

M + w x 2 2 = 0

M = - w x 2 2

Logo no retângulo 1 e 3 temos o mesmo gráfico de momento, porém a cortante tem sinais trocados.

Olhando para o primeiro apoio, nós temos uma cortante vinda da seção 1 igual a - w x e se somada com a reação nesse primeiro apoio nós teremos então uma cortante inicial igual a:

V = - w x + w L 2 = w L 2 - x

Passo 3

No segundo apoio vindo pela seção 3 temos um valor de cortante igual a:

V = w x

Porém ao final da seção 2 o apoio tem uma contribuição vinda do apoio igual a w L / 2 então ao final da seção 2 a seção entrega uma cortante igual a :

V = w x - w L 2 = w x - L 2

O que nos dá um diagrama de cortante igual a:

Passo 4

Calcular a equação da cortante na seção 2 seria muito trabalhoso e a chance de errar seria gigantesca, então para calcular o momento total na seção 2 vamos calcular a área dos dois triângulos que compõem a cortante no mesmo.

Área do primeiro triângulo:

M = w 2 L 2 - x 2

Porém temos que somar com a contribuição de momento da seção anterior se quisermos saber o momento máximo:

M = - w x 2 2 + w 2 L 2 - x 2 = w L 2 L 4 - x

Como sabemos que a integral de uma reta decrescente dá uma parábola com concavidade para baixo então temos o seguinte diagrama de momento fletor.

Agora podemos ver que quanto maior o valor de x maior o momento fletor nas seções 1 e 3 e enquanto isso o momento fletor na seção 2 tende a diminuir, se aumentarmos muito o intervalo o momento fletor nas seções 1 e 3 passam a ser o momento máximo. Logo a melhor maneira de diminuir ao máximo o máximo momento é igualando essas duas equações, o que nos dá:

w L 2 L 4 - x = w x 2 2

L 2 8 - L x 2 = x 2 2

x 2 + L x - L 2 4 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau temos:

x 1 ; x 2 = - L ± L 2 + L 2 2 = - L 2 ± L 2 2

Como não podemos ter uma valor de x negativo então nosso x que vai fazer com que o momento seja mínimo será:

x = L 2 - 1 + 2 = 0.207 L

Substituindo esse valor de x em qualquer uma das equações de momento fletor temos:

M = 1 2 w 0.207 L 2 = 0.0214 w L 2

Resposta

x = 0.207 L

M m i n = 0.0214 w L 2

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