Enunciado

14.30. Mostre que a relação ∑ m A = H ˙ A ' , onde H’A é definido pela Eq. (1) do Problema 14.29 e ∑ M A representa a soma dos momentos em relação a A das forças externas que atuam sobre o sistema de partículas, é válida se, e somente se, uma das seguintes condições for satisfeita: (a) o sistema de referência Ax’y’z’ é, ele próprio, um sistema newtoniano de referência, (b) A coincide com o centro de massa G e (c) a aceleração a A de A relativa a Oxyz está dirigida ao longo da linha AG.

Passo 1

No problema 14.29 temos a equação:

(1)

H A ' = ∑ i = 1 n r i ' × m i v i '

Mas podemos escrever:

r i ' = r i - r A

Porque r i ' é uma posição relativa, então

H A ' = ∑ i = 1 n r i - r A × m i v i '

Podemos escrever também:

v i ' = v i - v A

Logo

H A ' = ∑ i = 1 n r i - r A × m i v i - v A

Agora vamos derivar essa equação em relação ao tempo para chegar em H A ' ˙   :

H A ' ˙ = ∑ i = 1 n r i ˙ - r A ˙ × m i v i - v A + ∑ i = 1 n r i - r A × m i v i ˙ - v A ˙

Para fazer essa derivada basta usar a regra do produto.

Passo 2

Temos uma posição relativa também:

Chegamos em um valor para H A ' ˙ , mas temos coisas para mudar na nossa equação. A gente pode aplicar alguns conceitos de cinemática aqui:

r i ˙ = v i v i ˙ = a i r A ˙ = v A v A ˙ = a A

Então a equação fica:

H A ' ˙ = ∑ i = 1 n v i - v A × m i v i - v A + ∑ i = 1 n r i - r A × m i a i - a A

Bom, v i - v A = v i - v A , o que significa que

v i - v A × m i v i - v A = 0

Logo

H A ' ˙ = 0 + ∑ i = 1 n r i - r A × a i - a A

H A ' ˙ = ∑ i = 1 n r i - r A × m i a i - a A

Passo 3

Pela segunda lei de Newton temos

F = m a

Então se aplicarmos a distributiva para m i ficamos com

H A ' ˙ = ∑ i = 1 n r i - r A × F i - m i a A

Isso aqui pode ser reescrito assim:

H A ' ˙ = ∑ i = 1 n r i - r A × F i - ∑ i = 1 n m i r i - r A × a A

Mas

∑ i = 1 n r i - r A × F i = M A

Então

H A ' ˙ = M A - ∑ i = 1 n m i r i - r A × a A

Se aplicarmos o somatório

H A ' ˙ = M A - m r - - r A × a A

Isso implica que H ˙ A ' = M A , se, e somente se

m r - - r A × a A = 0

O item (a) assume um sistema Newtoniano, ou seja a A = 0 , então

m r - - r A × 0 = 0

Então isso é válido.

Agora o item (b). Nesse item assumimos que A coincide com o centro de massa G, isso significa r - = r A , então

m r - - r A × a A = 0

m 0 × a A = 0

Isso também é verdade.

Finalmente para o item (c), assumimos que a aceleração a A é dirigida ao longo da linha A G - , isso quer dizer que a A / / ( r - - r A ) , então

m r - - r A × a A = 0

Já que o produto vetorial entre dois vetores paralelos é sempre o vetor nulo. Logo isso é válido também.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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