Enunciado

15.221. A barra dobrada mostrada na figura gira à taxa constante 1 3 rad /s. Sabendo que o colar C se desloca na direção do ponto D com uma velocidade relativa constante u 1 m/s, determine, para a posição mostrada na figura, a velocidade e aceleração de C se (a) x 100 mm, (b) x 400 mm.

Passo 1

Beleza, vamos lá!

Começando pelo item (a), temos

x = 100   m m

Agora nós podemos usar razão e proporção para determinar a altura do colar C. Repare bem que ele forma um triângulo.

Para determinar y C só precisamos fazer

y C 300 = 400 - x 400

Então

y C 300 = 300 400

y C = 225   m m

E também podemos determinar um vetor unitário que aponta na direção de B C

u → B G = r → B G r → B G

Em que G é um ponto intermediário da barra B D .

u → B G = 400   i ^ - 300   j ^ 400 2 + 300 2 = 4 5   i ^ - 3 5   j ^

Passo 2

Beleza, agora temos um vetor que aponta na direção da barra B E . Vamos começar a responder o item (a).

v → C = v → C ' + v → C F

Bom, podemos calcular cada termo dessa soma separadamente.

v → C ' = Ω → × r → A C

Então temos que definir umas coisinhas aqui. Olhando a imagem podemos dizer que

r → A C = 100   i ^ + 225   j ^ m m

E

Ω → = ω 1   i ^ = - 3   i ^ r a d s

Por tanto temos

v → C ' = Ω → × r → A C

v → C ' = - 3   i ^ × 100   i ^ + 225   j ^ = - 675   k ^ m m s

E o outro termo

v → C F = u ⋅ u → B G

Do enunciado temos u = 1 m s = 1000 m m s , então

v → C F = 1000 ⋅ 4 5   i ^ - 3 5   j ^ = 800   i ^ - 600   j ^ m m s

Então

v → C = v → C ' + v → C F

v → C = 800   i ^ - 600   j ^ - 675   k ^ m m s

Passo 3

Agora vamos calcular a aceleração do colar C.

Temos aqui uma equação para ajudar a gente

a → C = a → C ' + a → C F + 2 Ω → × v → C F

Vamos resolver cada termo separadamente.

a → C ' = Ω → ˙ × r → C A + Ω → × r → C

Mas ω é uma constante, isso implica que

ω → ˙ = Ω → ˙ = 0

Portanto

a → C ' = Ω → × r → C

Isso fica

a → C ' = - 3   i ^ × 600   k ^ = - 1800   j ^ m m s 2

E o segundo termo

a → C F = 0

Esse foi fácil. E o ultimo termo

2 Ω → × v → C F = 2 - 3   i ^ × 800   i ^ - 600   j ^

Isso fica

2 Ω → × v → C F = 3600   k ^ m m s 2

Então

a → C = - 1800   j ^ + 3600   k ^ m m s 2

Ou então

a → C = - 1,8   j ^ + 3,6   k ^ m s 2

E assim temos nosso item (a) respondido.

Passo 4

Agora é a hora do item (b). x = 400   m m .

Então

y C 300 = 400 - 400 400 = 0

Então

y C = 0  

Então agora temos

r → C A = 400   i ^   m m

Vamos usar na equação

v C ' = Ω → × r → C A

Isso fica

v C ' = - 3   i ^ × 400   i ^ = 0

E da parte (a) podemos recuperar que

v → C F = 800   i ^ - 600   j ^ m m s

Isso não vai mudar.

Então da equação

v → C = v → C ' + v → C F

Só nos resta

v → C = v → C F

Logo

v → C = 800   i ^ - 600   j ^ m m s

Passo 5

Vamos para a aceleração. Bom, como v → C F = 0 , então a → C F = 0 . E também sabemos do item (a) que Ω → ˙ = 0 . Então a equação

a → C = a → C ' + a → C F + 2 Ω → × v → C F

Se reduz a

a → C = 2 Ω → × v → C F

E 2 Ω → × v → C F não vai se alterar, logo

a → C = 3600   k ^ m m s 2

Resposta

a : v → D = 800   i ^ - 600   j ^ - 675   k ^ m m s   a → C = - 1,8   j ^ + 3,6   k ^ m s 2 b :   v → C = 800   i ^ - 600   j ^ m m s a → C = 3600   k ^ m m s 2  

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