Enunciado

182- A figura mostra a vista posterior de um cilindro homogêneo, sólido e comprido, que flutua em um líquido e tem um segmento removido. Mostre que θ = 0 e θ = 180 são os dois valores do ângulo entre a sua linha de centro e a vertical para os quais o cilindro flutua em posições estáveis.

Passo 1

A condição necessária para haver estabilidade em um corpo parcialmente submerso é fazer com que o metacentro do corpo esteja acima do centro de gravidade do corpo, mas como surge esse metacentro?

O metacentro surge justamente quando temos uma variação da posição do centro de empuxo (B) em relação ao centro geométrico (G). O que faz surgir um momento restaurador em M que tende a estabilizar o corpo na posição de equilíbrio inicial.

O centro de empuxo sempre encontra-se abaixo do centro de gravidade em um corpo parcialmente imerso, e se girarmos o corpo no sentido horário surgirá um momento restaurador no corpo tendendo para o sentido anti-horário na direção do metacentro (que está acima do centro de gravidade do corpo). Logo pode-se afirmar que θ = 0 é um ângulo de estabilidade para esse corpo.

Passo 2

Se formos rotacionando mais para o sentido horário o corpo vai chegar um momento em que o centro de empuxo não pode mais para a direita, e o volume submerso tende a diminuir e vai chegar uma hora em θ = 90   ° que o centro de empuxo estará na mesma direção que o centro de gravidade o que nos dará um sistema instável, mas se continuarmos girando o centro de empuxo agora estará a esquerda do centro de gravidade de forma que:

O que nos dará de novo um metacentro acima do centro de gravidade, nesse caso agora o momento restaurador vai atuar de forma que θ seja igual a 180   ° .

Resposta

Estabilidade em θ = 0 e θ = 180   °

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