Enunciado

18.58. Determine a taxa de variação G da quantidade de movimento angular HG do disco do Problema 18.4, admitindo que, no instante considerado, o conjunto tenha uma velocidade angular j e uma aceleração angular α j.

Passo 1

Beleza vamos para mais uma questão. No problema 18.4 temos um disco homogêneo de massa m e raio r está montado em um eixo vertical AB, com a normal formando um ângulo β = 25 ° , com o eixo. A velocidade do eixo é constante igual a ω → = ω   j ^ .

Para esse problema vamos precisar usar os eixos principais G x ' y ' z ' .

E

z ' = z

Passo 2

O próximo passo é calcular os momentos de inércia:

I x ' = 1 4 m r 2 + 1 12 m L 2

Sendo L a espessura do disco, mas para esse problema podemos desprezar essa espessura, então

I x ' = 1 4 m r 2

Analogamente

I z ' = 1 4 m r 2

E por último

I y ' = 1 2 m r 2

E vamos converter a velocidade angular para os novos eixos:

ω x ' = - ω ⋅ sin ⁡ β ω y ' = ω ⋅ cos ⁡ β ω z ' = 0

Passo 3

Agora temos tudo para calcular o momento angular em torno do ponto G.

H → G = H x '   i ^ ' + H y '   j ^ ' + H z ' k ^ '

Isso fica

H → G = I x ' ω x '   i ^ ' + ( I y ' ω y ' )   j ^ ' + I z ' ω z ' k ^ '

Substituindo os valores dos momentos inércia e velocidade angular:

H → G = 1 4 m r 2 ⋅ - ω ⋅ sin ⁡ β   i ^ ' + 1 2 m r 2 ⋅ ω ⋅ cos ⁡ β   j ^ ' + 1 4 m r 2 ⋅ 0 k ^ '

Ou seja

H → G = - 1 4 m r 2 ω sin ⁡ β i ^ ' + 1 2 m r 2 cos ⁡ β   j ^ '

H → G = m r 2 ω - 1 4 sin ⁡ β   i ^ ' + 1 2 cos ⁡ β   j ^ '

Agora vamos converter isso para os eixos cartesianos:

Olha só para a imagem, nós podemos dizer que:

i ^ ' = cos ⁡ β   i ^ - sin ⁡ β   j ^

E

j ^ ' = sin ⁡ β   i ^ + c o s   β   j ^

Então para convertemos para os eixos cartesianos basta fazer

H → G = m r 2 ω - 1 4 sin ⁡ β   cos ⁡ β   i ^ - sin ⁡ β   j ^ + 1 2 cos ⁡ β sin ⁡ β   i ^ + c o s   β   j ^

Isso fica

H → G = m r 2 ω - 1 4 sin ⁡ β cos ⁡ β   i ^ + 1 4 sin 2 ⁡ β   j ^ + 1 2 cos ⁡ β sin ⁡ β i ^ + 1 2 cos 2 ⁡ β j ^

H → G = m r 2 ω 1 4 sin ⁡ β cos ⁡ β   i ^ + 1 4 sin 2 ⁡ β   + 1 2 cos 2 ⁡ β j ^

Assumindo β = 25 °

H → G = m r 2 ω 0,09575   i ^ + 0,455348   j ^

Passo 4

Agora vamos podemos calcular H → ˙ A , e isso não vai ser tão complicado nesse problema, porque ω é constante, então

H → ˙ G x y z = 0

E também podemos assumir

Ω → = ω → = ω   j ^

Então

H → ˙ A = H → ˙ G x y z + Ω → × H A →

É a mesma coisa que

H → ˙ A = ω → × H A →

Substituindo os valores

H → ˙ A = ω   j ^ × m r 2 ω 0,09575   i ^ + 0,455348   j ^

Agora é só fazer esse produto vetorial

H → ˙ A = - 0,958   m r 2 ω 2   k ^

E assim terminamos mais um problema.

Resposta

H → ˙ A = - 0,958   m r 2 ω 2   k ^

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