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19.119. O desbalanceamento do rotor de um motor de 200 kg é equivalente a uma massa de 100 g localizada a 150 mm do eixo de rotação. A fim de limitar para 1 N a intensidade da força oscilante exercida na fundação quando o motor gira a velocidades de 100 rpm ou acima, uma base amortecedora é colocada entre o motor e a fundação. Determine (a) a constante máxima admissível da mola k da base, (b) a amplitude correspondente da força oscilante exercida na fundação quando o motor está girando a 200 rpm.

Passo 1

Antes de começar a fazer conta é melhor organizamos as informações que temos.

M = 200   k g m = 100   g = 0,1   k g r = 150   m m = 0,15   m

Nosso objetivo é que a força máxima seja F m = 1   N para velocidades acima de ω f = 100   r p m = 10,472 r a d s .

Passo 2

Agora vamos calcular a equação de movimento do motor. O sistema tem duas forças agindo sobre ele: a força elástica, e a força de desbalanceamento. Para a posição central, temos

∑ F = P m + F e l a s t i c a

Ou então

∑ F = m r ω f 2 - k x m

Sempre lembrando da segunda lei de Newton:

M x ¨ = ∑ F

Então

M x ¨ = m r ω f 2 - k x m

Nesse caso podemos dizer que

x ¨ = α = - ω f 2 x m

Então

- M ω f 2 x m = m r ω f 2 - k x m

Então temos

- M ω f 2 x m + k x m = m r ω f 2

x m - M ω f 2 + k = m r ω f 2

Isso fica

x m = m r ω f 2 k - M ω f 2

E como a força transmitida é

F m = k x m

Então

F m = k m r ω f 2 k - M ω f 2

Ou para o motor fora de fase

- F m = k m r ω f 2 k - M ω f 2

Ou

F m = k m r ω f 2 M ω f 2 - k

Passo 3

Agora finalmente podemos começar o item (a). O valor de k . Então, vamos isolar k na nossa equação.

F m = k m r ω f 2 M ω f 2 - k

Isso fica

F m M ω f 2 - k = k m r ω f 2

Vamos distribuir F m

F m M ω f 2 - F m k = k m r ω f 2

Então temos

k m r ω f 2 + F m = F m M ω f 2

Logo

k = F m M ω f 2 m r ω f 2 + F m

Agora é só substituir os valores

k = 1 200 10,742 2 0,1 0,15 10,472 2 + ( 1 ) = 8292,26 N m

Passo 4

Agora vamos para o item (b), precisamos descobrir a força quando o motor gira a 200   r p m .

Então temos

ω f = 200   r p m = 20,944 r a d s

Só precisamos usar a equação

F m = k m r ω f 2 M ω f 2 - k

Substituindo os valores

F m = 8292,26 0,1 0,15 10,472 2 200 10,472 2 - ( 8292,26 ) = 0.999   N

Resposta

a :   k = 8292,26 N m b : F m = 0.999   N

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