Enunciado

19.116. À medida que a velocidade de rotação de um motor apoiado por molas é lentamente aumentada de 300 para 500 rpm, a amplitude da vibração causada pelo desbalanceamento do seu rotor é observada aumentando continuamente de 1,5 para 6 mm. Determine a velocidade de rotação em que ocorrerá ressonância.

Passo 1

Vamos lá! Agora temos um problema de ressonância. A ressonância é um fenômeno onde x m tende a infinito. Uma equação para x m é:

x m = P m k 1 - ω f ω n 2

Isso significa que a ressonância ocorre quando ω f se aproxima de   ω n .

Bom, P m pode ser calculada como a força centrifuga da pequena massa m que causa o desbalanceamento do rotor.

P m = m r ω f 2

Em que m é a massa do rotor e r a distância dessa massa até o centro de rotação.

Então temos

x m = m r ω f 2 k ⋅ 1 1 - ω f ω n 2

Bom, como m r k é uma constante, podemos chamar de C t e

x m = C t e   ω f 2 1 - ω f ω n 2

Passo 2

Para esses problemas vamos analisar dois casos simultaneamente, o caso 1 e o caso 2. Vamos escrever as informações que temos de cada caso.

x m 1 = 1,5   m m = 1,5 ⋅ 10 - 3 m ω f 1 = 300 ⋅ 2 π 60 = 10   π r a d s

E aqui temos

x m 1 = C t e   ω f 2 1 1 - ω f 1 ω n 2

E o segundo caso

x m 2 = 6   m m = 6 ⋅ 10 - 3 m ω f 2 = 500 ⋅ 2 π 60 = 50 3   π r a d s

E por fim

x m 2 = C t e   ω f 2 2 1 - ω f 2 ω n 2

Agora podemos dividir as equações

x m 1 x m 2 = C t e   ω f 2 1 1 - ω f 1 ω n 2 C t e   ω f 2 2 1 - ω f 2 ω n 2

A gente pode simplificar essa equação, primeiro vamos cortar as constantes:

x m 1 x m 2 = ω f 2 1 1 - ω f 1 ω n 2 ω f 2 2 1 - ω f 2 ω n 2

Agora vamos organizar isso em uma fração só:

x m 1 x m 2 = ω f 1 2 1 + ω f 2 ω n 2 ω f 2 2 1 + ω f 1 ω n 2

Passo 3

Agora vamos substituir os valores de x m .

1,5 6 = ω f 1 2 1 + ω f 2 ω n 2 ω f 2 2 1 + ω f 1 ω n 2

Isso é o mesmo que

1 4 = ω f 1 2 1 + ω f 2 ω n 2 ω f 2 2 1 + ω f 1 ω n 2

Então ficamos com

ω f 2 2 1 + ω f 1 ω n 2 = 4 ω f 1 2 1 + ω f 2 ω n 2

Vamos multiplicar tudo por ω n 2

ω f 2 2 ω n 2 + ω f 1 2 = 4 ω f 1 2 ω n 2 + ω f 2 2 Organizando essa equação

ω f 2 2 ω n 2 + ω f 1 2 ω f 2 2 = 4 ω f 1 2 ω n 2 + 4 ω f 1 2 ω f 2 2

Vamos isolar ω n , é o único valor que não sabemos

4 ω f 1 2 ω n 2 - ω f 2 2 ω n 2 = 4 ω f 1 2 ω f 2 2 - ω f 1 2 ω f 2 2

E isso fica

ω n = 4 ω f 1 2 ω f 2 2 - ω f 1 2 ω f 2 2 4 ω f 1 2 - ω f 2 2

Agora vamos substituir os valores, mas antes disso, vamos colocar em uma unidade conveniente:

ω f 1 = 300   2 π 60 = 31,416 r a d s

ω f 2 = 500 2 π 60 = 52,36 r a d s

Então temos

ω n = 4 31,416 2 52,36 2 - 31,416 2 ( 52,36 ) 2 4 31,416 2 - 52,36 2 = 82,03 r a d s

Ou

ω n = 82,03 ⋅ 60 2 π = 783   r p m

Resposta

ω n = 783   r p m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma haste delgada CDE de comprimento L e massa em está ligada a um suporte de pino em seu ponto médio D. Uma segunda haste idêntica AB está girando em torno de um suporte de pino em A com uma velocida
Uma barra delgada uniforme AB de comprimento L = 800 mm é posicionada com seu centro equidistante de dois apoios localizados a uma distância b = 200 mm entre si. A extremidade B da barra é erguida a u
Resolva o problema 17.123, assumindo que o impacto entre as hastes é perfeitamente elástico.17.123 - Uma haste delgada AB é liberada do repouso na posição mostrada. Ela desce para a posição vertical e
A esfera A de massa m e raio r rola sem deslizar com uma velocidade V1 em uma superfície horizontal quando atinge uma esfera idêntica B que está em repouso. Denotando por u k o coeficiente de atrito c
Resolva o problema 17. 125, assumindo que o ginasta muda de lugar de modo que o ginasta A pula na prancha enquanto Ginasta B fica em C17.125 - A prancha CDE tem uma massa de 15 kg e repousa sobre um p