Enunciado

197- O lado cheio por água doce de uma represa de concreto tem a forma de uma parábola vertical com vértice em A . Determine a posição b do ponto B na base da represa, pelo qual atua a força resultante da água contra a face C da represa.

Passo 1

Primeiramente vamos apenas calcular a coordenada horizontal do centro de área da parte horizontal da água contida na região parabólica.

Toda parábola tem com equação característica uma forma como:

y = k x 2 + a

Porém como o vértice dessa função está em A vamos considerar a = 0 , logo vamos encontrar k aplicando os pontos limites dessa parábola que seria y = 36 e x = 27 , logo:

36 = k × 27 2 → k = 36 27 2 = 4 81

Passo 2

A coordenada x - tem a seguinte equação para ser resolvida:

x - = ∫ x m d A ∫ d A

Onde o elemento de área é:

d A = x d y

Preenchendo a região por linhas horizontais:

Porém:

d y = 8 81 x   d x

Logo d A = 8 81 x 2 d x

Fazendo a integral dessa região no intervalo de 0 até 27 :

∫ d A = 8 81 ∫ 0 27 x 2 d x = 8 × 27 3 3 × 81 = 648

Para fazer da forma tradicional basta descobrir o tamanho da linha horizontal e multiplicar pela altura d y . Isso é, fazer com que a função esteja em função de y .

Por se tratar da linha horizontal logo o x m será igual a x 2 , logo:

∫ x m d A = ∫ 0 27 x 2 × 8 81 x 2 d x = 4 81 ∫ 0 27 x 3 d x = 4 81 × 4 x 4 0 27 = 6561

Logo a coordenada horizontal do centro de área da parábola será:

x - = 6561 648 = 10.125   m

Passo 3

No último passo conseguimos algumas informações valiosas, sabemos agora que a área da parte parabólica é de:

A = 648   m 2

x - = 10.125   m

Com essa informação sabemos o peso dessa carga de água, considerando ρ como sua densidade temos:

W = ρ g A x

Já que não sabemos o volume, então multiplicamos a área por uma parcela x de comprimento normal ao plano do papel:

W = 648 ρ g x

O sistema de forças estará da seguinte maneira:

Onde R 1 representa a força de água na parte vertical e ela terá como valor:

R 1 = ρ g h 2 L x

Pois assim como não temos o volume para encontrar o peso da água na região parabólica nós também não temos a área transversal que essa área fará, somente a linha que vale 36   m e uma parcela de comprimento igual a x de mesmo tamanho ao comprimento da represa. Logo R 1 valerá para densidade da água igual a ρ :

R 1 = ρ g × 36 2 × 36 = 648 ρ g x

Passo 4

Fazendo a somatória dos momentos em B temos:

R 1 × 18 - 648 ρ g x × b - x - = 0

18 = b - x - = b - 10.125

b = 28.125   m

Resposta

b = 28.125   m

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