Enunciado

21- Determine o momento de inércia polar e o raio de giração polar da superfície sombreada mostrada na figura em relação ao ponto P .

Passo 1

Para calcular o momento de inércia polar nós precisamos fazer a somatória da inércia em x e em y da figura ou seja:

J = I x + I y

E dessa forma vamos dividir a superfície em três regiões. Além de traçar nosso centro de coordenadas partindo de P

Onde as regiões 1 e 3 são iguais, tanto em área quanto em inércia em relação a x e y , podendo ser escrita da seguinte forma:

I 1 x = I 3 x

I 1 y = I 3 y

E a inércia total em x e em y do corpo todo pode ser escrito da seguinte forma:

I x = I 1 x + I 2 x + I 3 x = 2 I 3 x + I 2 x

I y = I 1 y + I 2 y + I 3 y = 2 I 3 y + I 2 y

Passo 2

Com isso dito vamos traçar as linhas verticais e horizontais para que seja possível calcular as inércias.

Vamos começar fazendo a inércia em x .

I x = 2 ∫ y 2   a   d y + ∫ y 2   2 a d y

O elemento de área na região 2 vale (considerando o horizontal , verde):

d A 2 = 2 a d y

E o elemento de área na região 3 (na horizontal, o amarelo):

d A 1 = a d y

Porém como estamos considerando a inércia na região 1 também então :

2 d A 1 = 2 a d y

Onde na região 1   e   3 y varia de 0 até 2 a e na região 2 y varia de a até 2 a .

I x = 2 ∫ 0 2 a a y 2   d y + ∫ a 2 a 2 a y 2 d y

I x = 2 a y 3 3 0 2 a + 2 a y 3 3 a 2 a

I x = 16 a 4 3 + 16 a 4 3 - 2 a 4 3 = 30 a 4 3 = 10 a 4

Passo 3

Agora vamos fazer a inércia em y :

O elemento de área da região 2 na vertical será:

d A 2 = a   d x

E na região 3 :

d A 3 = 2 a d x

Porém como temos a região 1 também então:

2 d A 3 = 4 a d x

Fazendo a inércia em y nós teremos:

I y = ∫ x 2 × a d x + 2 ∫ x 2 × 2 a d x

Onde a região 2 varia em x de - a até a e a região 3 varia de a até 2 a , o que nos dá:

I y = ∫ - a a a x 2   d x + 4 ∫ a 2 a a x 2 d x

O que nos dá:

I y = a x 3 3 - a a + 4 a x 3 3 a 2 a

I y = 2 a 4 3 + 32 a 4 3 - 4 a 4 3 = 30 a 4 3 = 10 a 4

Dessa forma a inércia polar vale:

J = 10 a 4 + 10 a 4 = 20 a 4

Passo 4

Agora basta calcular o raio de giro polar e para isso vamos calcular a área dessa superfície que é fácil né? Basta fazer a soma das áreas das regiões:

A = 2 A 3 + A 2 = 2 × a × 2 a + a × 2 a = 6 a 2

Logo:

k = J A

k = 20 a 4 6 a 2 = 10 3 a 2 = a 10 3

Resposta

J = 20 a 4

k = a 10 3

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