Enunciado

22- Determine o momento de inércia polar e o raio de giração polar da superfície sombreada mostrada na figura em relação ao ponto P .

Passo 1

Fazendo o sistema de coordenada saindo de P nós podemos dividir a seguinte superfície em quatro regiões.

Onde a inércia nos eixos em 1 é igual a inércia nos eixos em 4 e a inércia em 2 é igual a inércia em 3 . E por isso vamos apenas traçar as linhas verticais e horizontais nas regiões 1 e 2 .

Mas antes vamos escrever a equação da reta diagonal que fecha o triângulo na região 1 .

Essa reta passa pelos pontos a 2 , 0 e ( a , a ) .

Sendo a equação da reta:

y = m x + b

a , a → a = m a + b

a 2 , 0 → 0 = m a 2 + b → b = - m a 2

Substituindo esse valor de b na primeira equação nós temos:

a = m a - m a 2

1 = m - m 2 = m 2

m = 2

Logo:

b = - a

Dessa forma a equação dessa reta diagonal será:

y = 2 x - a

Passo 2

Agora vamos traçar as linhas para que possamos calcular as duas inércias.

Onde y r é o y da reta que acabamos de descobrir no passo anterior.

Fazendo a inércia em y nós temos:

I y = 2 ∫ x 2 a   d x + 2 ∫ x 2 a - 2 x - a d x

Onde x na região 2 vai de 0 até a / 2 e na região 1 vai de a / 2 até a

I y = 2 a ∫ 0 a / 2 x 2 d x + 2 ∫ a / 2 a x 2 2 a - 2 x d x

I y = 2 a x 3 3 0 a / 2 + 2 2 a x 2 - 2 x 3 a / 2 a

I y = 2 a 4 24 + 2 2 a x 3 3 - 2 x 4 4 a / 2 a

I y = a 4 12 + 2 2 a 4 3 - a 4 2 - 2 2 a 4 24 - a 4 32

I y = a 4 1 12 + 4 3 - 1 - 1 6 + 1 16 = 5 a 4 16

Passo 3

Agora vamos fazer I x :

Para isso precisamos saber de x r , que vale:

x r = y + a 2

I x = 2 ∫ y 2 a 2 d y + 2 ∫ y 2   y + a 2 - a 2 d y  

Onde y nas duas regiões vai de 0 até a .

I x = a ∫ 0 a y 2   d y + 2 ∫ 0 a y 3 2 d y

I x = a y 3 3 0 a + y 4 4 0 a

I x = a 4 3 + a 4 4 = 7 a 4 12

Dessa forma a inércia polar será:

J = I x + I y = 7 a 4 12 + 5 a 4 16 = 43 a 4 48

Passo 4

Para calcular o raio de giro nós precisamos saber a área dessa superfície e que será igual ao dobro das áreas da região 1 com a soma do dobro da área da região 2

A = 2 × a × a 2 + 2 × a × a 2 2

A = a 2 + a 2 2 = 3 2 a 2

Dessa forma o raio de giro será:

k = J A

k = 43 a 4 48 3 2 a 2 = 86 a 2 144 = a 43 72

Resposta

J = 43 a 4 48

k = a 43 72

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