Enunciado

24- Determine as coordenadas do centroide da área sombreada

Passo 1

Pela simetria do gráfico podemos dizer sem medo que x - é zero porém pode-se sim fazer o cálculo pertinente a essa variável para encontrar esse valor.

Pela linha vertical podemos encontrar :

O comprimento dessa linha é a diferença entre as funções y = b e y = k x 3 , logo:

L = b - k x 3

E como sua largura é d x logo sua área será:

d A = b - k x 3 d x

E o y m ou y médio será a média aritmética dessas funções :

y m = b + k x 3 2

E o intervalo em x iria de - a a a mas pela simetria, podemos dizer que é a mesma coisa que duas vezes o resultado que der no intervalo de 0 a a .

Porém k pode ser calculado da seguinte forma:

No ponto x = a temos y = b , logo se substituirmos na equação teremos:

b = k a 3 → k = b a 3

Passo 2

Logo sua área será:

A = 2 ∫ 0 a ( b - b a 3 x 3 ) d x

A = 2 b ∫ 0 a 1 - 1 a 3 x 3 d x

Fazendo a integral de + x 3 nós teremos x 4 4 e se fizermos de - x 3 teremos - x 4 4 , logo a integral do módulo será, porém como utilizamos a simetria e consideramos somente os números positivos pode-se representar o resultado sem a necessidade do módulo mas para fins didáticos irei deixar.:

∫ x 3 d x = x x 3 4

Logo nossa integral fica:

A = 2 b x - 1 a 3 x x 3 4 0 a = 2 b a - a 4 = 3 a b 2

Passo 3

Agora para calcular y - temos que calcular ∫ y m   d x :

∫ y m   d x = 2 ∫ 0 a 1 2 b + b a 3 x 3 b - b a 3 x 3 d x

∫ 0 a b 2 - b 2 a 6 x 6 d x = b 2 ∫ 0 a 1 - 1 a 6 x 6 d x

A integral de + x 6 é x 7 7 e para - x 6 vai ser - x 7 7

Logo a integral do módulo será:

∫ x 6 = x x 6 6

Fazendo essa integral temos:

b 2 x - x x 6 7 a 6 0 a = a b 2 - a 7 b 2 7 a 6 = a b 2 - a b 2 7 = 6 a b 2 7

Passo 4

Agora calculando y - .

y - = 6 a b 2 7 3 a b 2 = 4 b 7

Resposta

x - , y - = 0 , 4 b 7

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