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Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o centroide da área dada. Para isso, vamos dividir a área em figuras conhecidas.

Logo, o centroide será o produto do centroide do setor circular maior pela sua área menos o produto do setor circular menor pela sua área, divididos pela área do setor circular maior menos a do menor. Logo:

A × x - s e t o r   c i r c   m a i o r = 0

A × y - s e t o r   c i r c   m a i o r = 2 × r 2 × s e n π 2 - α 3 × π 2 - α × π 2 - α × r 2 2 = 2 r 2 3 cos ⁡ α 3

Aqui, utilizamos s e n π 2 - α = cos ⁡ α .

Já o do menor será:

A × x - s e t o r   c i r c   m e n o r = 0

A × y - s e t o r   c i r c   m e n o r = 2 × r 1 × s e n π 2 - α 3 × π 2 - α × π 2 - α × r 1 2 = 2 r 1 3 cos ⁡ α 3

Portanto:

x - = 0

y - = 2 3 cos ⁡ α r 2 3 - r 1 3 π 2 - α r 2 2 - r 1 2

Resposta

x - = 0

y - = y - = 2 3 cos ⁡ α r 2 3 - r 1 3 π 2 - α r 2 2 - r 1 2

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Localize o centroide y - da área sombreada.
Localize o centroide x - da área sombreada.
Localize o centroide x - da área.
Localize o centroide y - da área.
Localize o centroide x - do setor circular.