Enunciado

44. O eixo maciço da hélice de um navio estende-se para fora do casco. Em operação, ele gira a ω = 15   r a d / s quando o motor desenvolve 900   k W de potência, o que causa um impulso de F = 1,23   M N no eixo. Se o diâmetro externo do eixo for 250   m m , determine as tensões principais em qualquer ponto localizado na superfície do eixo.

Passo 1

E aí meu aprovado!! Aqui vamos nós de novo pra mais uma questãozinha de ResMat.

Olha só, não deixa essa situação toda do barco, hélice, casco e tudo mais te assustar. Basicamente, temos um eixo, que sofre uma potência que gera um torque. Então ele vai sofrer tensão de cisalhamento por causa dele.

E esse eixo também sofre uma força normal F = 1,23   M N . Pelo equilíbrio, essa força precisa aparecer do outro lado do eixo. Juntas, essas duas bonitas causam compressão. Mais uma tensão aí!

A ideia é a gente calcular essas tensões para essa situação e depois achar as tensões principais, como o enunciado pede. Vamos!

Passo 2

Já sabemos que a força F é a força do impulso causado pelo motor e F e i x o é força de reação do eixo pra compensar F ... Elas tem o mesmo módulo.

A mesma coisa acontece pro torque. O torque do eixo ( T e i x o ) é igual ao torque do motor ( T ) ...

T = T e i x o

Sendo assim, como o exercício deu a velocidade angular ω e a potência que o motor desenvolve, a gente pode achar o que quer pela fórmula abaixo:

P = ω T

Molezinha, né!? Potência é igual ao produto da velocidade angular pelo torque...

Substituindo os dados do enunciado, obtemos então, que o nosso torque é de:

900   kW = 15   rad/s T  

9 × 10 5   W = ( 15   rad/s ) T

Tal que:

T = 9 × 10 5   W 15   rad/s

T = 60   kN⋅m

E consequentemente:

T = 60   kN⋅m

Passo 3

Agora, vamos trabalhar pra achar as tensões nessa situação

Para isso, bora seguir o procedimento padrão que a gente sempre está acostumou a fazer...

Primeiro, bora obter a tensão normal, que no nosso caso, é dada por

σ = F o r ç a   N o r m a l   ( F )   Á r e a   d o   e i x o   ( A )

Bem! A força normal no eixo, é a força F , de compressão, porque está aplicada em um sentido que tende a encurtar a peça.

E se ela é de compressão, então seu sinal é negativo, igual a - 1,23   M N . Quanto à área da seção transversal do eixo, é molezinha. Trata-se basicamente da área de um círculo, que já estamos cansados de saber.

Substituindo assim, os valores numéricos, obtemos que:

σ = F A

σ = - 1,23 × 10 6   N π 4 ( 0,25   m ) 2

σ ≅ - 25,06   M P a   ( C o m p r e s s ã o )

Passo 4

A próxima coisa a se fazer agora, é obter a tensão de cisalhamento no eixo. Pois muito bem! Podemos fazer isso através da expressão abaixo:

τ = T c J

Lembrando que o momento polar de inércia da seção transversal de um sólido com seção circular cheia, que é o caso do nosso eixo, é dado pela seguinte fórmula:

J = π r 4 2

Onde r é o raio da nossa seção, igual à:

r = d 2 = 250   m m 2

r = 125   m m

Já a variável c . Bem! Ela é a distância do centro do eixo até o ponto que está sendo estudado, que é qualquer ponto na superfície do eixo.

Mas qual ponto, vamos pegar?

Pergunta difícil, hein parceiro(a)?

Sla! Bora pegar o ponto mais distante possível do centro do eixo... De acordo com a figura abaixo:

E conforme podemos ver, esse ponto está a uma distância r do centro do eixo.

Aí sim! As coisas agora, estão bem mais claras.

Já não temos mais o que fazer! Como já descobrimos tudo que faltava, bora voltar à fórmula da tensão cisalhante...

τ = T c J

Onde substituindo os valores numéricos de cada variável:

τ = ( 60 × 10 3   N⋅m ) ( 0,125   m ) π 2 ( 0,125   m ) 4

τ ≅ 19,56   M P a

Passo 5

E aqui está um esboço dessas tensões, representadas em um elemento plano; pra deixar ainda mais claro nosso entendimento.

A imagem acima corresponde ao estado plano de tensões...

Dela... tiramos os seguintes dados:

σ x = - 25,06   M P a

σ y = 0   M P a

τ x y = 19,56   M P a

Passo 6

E pra finalizar, bora obter as tensões principais no eixo...

Pra isso já sabe, né!? Temos que recorrer à seguinte fórmula abaixo...

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Onde trocando as variáveis pelos seus valores conhecidos anteriormente:

σ 1,2 = - 25,06   M P a + 0   M P a 2 + - 25,06   M P a - 0   M P a 2 2 + ( 19,56   M P a ) 2

σ 1,2 ≅ - 12,53   M P a ± 23,23   M P a

Podemos obter duas tensões. A primeira vai ser a tensão máxima, que é igual à:

σ 1 ≅ - 12,53   M P a + 23,23   M P a

σ 1 ≅ 10,7   M P a

E a outra vai ser a tensão mínima, que vale:

σ 2 ≅ - 12,53   M P a - 23,23   M P a

σ 2 ≅ - 35,8   M P a

Resposta

Tensões principais no eixo:

σ 1 ≅ 10,7   M P a

σ 2 ≅ - 35,8   M P a

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