Enunciado

47. Resolva o problema 9.46 para o ponto B localizado na superfície do tubo.

Passo 1

Falaa galerinha! Vamos entender o que ele quer. Ele pede as tensões principais no ponto B .

Para achar essas fofas, precisamos achar o estado de tensões nesse ponto. (as tensões que acontecem nesse ponto). E depois calcular as principais através delas.

Precisamos entender que esforços atuam na seção A B . Para isso, cortamos nosso tubo nessa seção, posicionamos as componentes dos esforços na seção, e olhamos só para parte do tubo a cima dessa seção para determinar o valor dessas componentes.

Vamos montar o diagrama de forças e momentos atuantes no tubo:

Agora, é só fazer a análise de esforços atuantes na seção do ponto   B , que é o ponto onde queremos achar as tensões principais:

→ + ∑ F z = 0

V z   - 100   N = 0

V z = 100   N

↶ + ∑ M x = 0

T x - 100   N × 0,3   m = 0

T x = 100   N × 0,3   m

T x = 30   N ⋅ m

↶ + ∑ M y = 0

M y - 100   N × 0,25   m = 0

M y = 100   N × 0,25   m

M y = 25   N ⋅ m

Os outros esforçam zeram. Vamos seguir!

Passo 2

Agora vamos achar as tensões em B , lembrando que a fórmula do momento de inércia de um círculo é da por I = π c 4 / 4 , onde c é a distância do centro até a bora mais externa. Então para a seção de um tubo vazado de raio externo c e interno c i , temos:

I = π c 4 - c i 4 4

A tensão normal vai ser dada só pelo momento, e vai causar tração. Ela é dada por

σ B = + M y z B I y

E z B é a distância do centro do tubo até o ponto B , ou seja, a parte externa do tubo:

σ B = ( 25   N ⋅ m ) ( 0,0375   m ) π   4 ( ( 0,0375   m ) 4 - ( 0,034   m ) 4 )

σ B ≅ 1,86   M P a   ( T r a ç ã o )

Passo 3

Como nosso ponto está na borda superior em relação ao cortante, ele não vai sofrer tensão de cisalhamento por causa dele. Só vamos ter tensão cisalhante por causa da torção:

τ B = T x c J = T x c π 2 c 4 - c i 4

Novamente temos a seção de um tubo vazado de raio externo c e interno c i .

τ B = ( 30   N ⋅ m ) ( 0,0375   m ) π   2 ( ( 0,0375   m ) 4 - ( 0,034   m ) 4 )

τ B ≅ 1,12   M P a

Uhul! Achamos todas as tensões no ponto B .

Passo 4

Agora, é só achar as tensões principais no ponto B pela fórmulinha:

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Essa fórmula nos permite obter duas tensões, uma máxima σ 1 e uma mínima σ 2 .

Vimos que só temos uma tensão normal, e ela é de tração:

σ B ≅ 1,86   M P a   ( T r a ç ã o )

Podemos colocar ela no lugar de σ x ou σ y , não vai fazer diferença. E temos uma tensão cisalhante:

τ B ≅ 1,12   M P a = τ x y

Substituindo:

σ 1 = 1,86   M P a + 0   M P a 2 + 1,86   M P a + 0   M P a 2 2 + ( - 1,12   M P a ) 2

σ 1 ≅ 0,931   M P a + 1,454   M P a

σ 1 ≅ 2,385   M P a

σ 2 = 1,86   M P a + 0   M P a 2 - 1,86   M P a + 0   M P a 2 2 + ( - 1,12   M P a ) 2

σ 2 ≅ 0,931   M P a - 1,454   M P a

σ 2 ≅ - 0,523   M P a

Prontinho!

Resposta

σ 1 ≅ 2,385   M P a

σ 2 ≅ - 0,523   M P a

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