Enunciado

5.25. Use the results of Sample Problem 5/3 to compute the coordinates of the mass center of the portion of the solid homogeneous cylinder shown.

Passo 1

O problema fala de um resultado que a gente obteve lá no problema exemplo 5/3 do livro. Vamos lembrar que problema é esse:

E daqui a gente tirou que o centro de massa é:

x - = 2 3 r sin ⁡ α α

Esse resultado vai ser bem útil para gente, porque esse problema também trata de uma fração de um círculo. As faces do sólido que estão no plano x y são a fração de circulo que vamos nos concentrar inicialmente.

Passo 2

Essa é uma visão de cima do nosso sólido. Para ficar mais parecido com o exemplo que vamos usar para ajudar a gente, podemos criar um novo eixo, que corte nossa figura em duas partes iguais.

Então podemos escrever que

u - = 2 3 r s i n   α α

Primeiro vamos ver quem é esse α . Se a gente dividir essa fração de círculo em partes iguais de 45 ° , podemos ver facilmente que α = 135 ° .

α = 45 ° ⋅ 3 = 135 °

Ou então

α = 3 4 π

E o raio é dado na imagem, r = 6   i n

Então a nossa equação fica

u - = 2 3 r s i n   α α

u - = 2 3 ( 6 ) s i n   3 4 π 3 4 π

Fazendo essas continhas

u - = 16 3 π ⋅ 1 2

Passo 3

Achamos o ponto do centro de massa no eixo u , agora vamos transpor para os eixos x e y . Para fazer isso é muito simples, repare que se transformamos tudo em vetor, vamos ficar com algo mais ou menos assim:

Podemos dizer que

u - 2 = x - 2 + y - 2

Por simetria:

x - = y -

Então

- u - 2   = x - = y - = - 16 3 π ⋅ 1 2 ⋅ 1 2 = - 8 3 π   i n

Passo 4

Agora a gente só precisa achar o centro de massa no eixo z . E isso não vai ser nada complicado, porque o sólido tem massa homogênea e além disso é perfeitamente simétrico no eixo z , isso significa que o centro de massa está exatamente no meio

z - = 5   i n

Então

r - = - 8 3 π ;   - 8 3 π ; 5 i n  

Resposta

r - = - 8 3 π ;   - 8 3 π ; 5 i n  

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6- Determine as coordenadas do centroide da área sombreada:
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9- Determine, por integração direta, as coordenadas do centroide da área trapezoidal.
8- Determine as coordenadas do centroide da área sombreada.
7- Determine a coordenada y do centroide da área sob a curva senoidal mostrada.