Enunciado

61- Determine as forças em cada um dos elementos da treliça espacial e indique se eles estão sob tração ou compressão. A treliça é apoiada por juntas esféricas em C , D , E e G .

Passo 1

Note que somente pelas forças na junta A e na junta B nós conseguimos encontrar as forças em todas as barras, e é isso que vamos fazer mas primeiramente vamos encontrar o vetor da força F .

F = 0 i + 3.5 - 2 j + 0 - 2 k = 1.5 j - 2 k

Cujo comprimento vale:

F = 1.5 2 + 2 2 = 2.5

Logo como a intensidade desse vetor é de 3   k N teremos um vetor força representado da seguinte forma:

F = 3 × 1.5 j - 2 k 2.5 = 1.8 j - 2.4 k

Passo 2

Agora vamos fazer a somatória das forças na junta A fazendo com que todas as forças saiam da junta em A da seguinte forma:

Dessa forma vamos encontrar as representações vetoriais de todas as barras.

F A B = F A B × 0 i + 2 - 2 j + 0 - 2 k 2 2 = F A B × - k

F A G = F A G × - 1 - 0 i + 0 - 2 j + 2 - 2 k 1 2 + 2 2 = F A G × - 1 5 i - 2 5 j

F A E = F A E × 1 - 0 i + 0 - 2 j + 2 - 2 k 1 2 + 2 2 = F A E × 1 5 i - 2 5 j

Passo 3

Agora poderemos fazer a somatória das forças em todos os eixos.

Começando pela somatória das forças no eixo z :

- 2.4 - F A B = 0

F A B = 2.4   k N   ( C )

Como consideramos as forças saindo do nó então temos uma força compressiva nessa barra.

Agora vamos fazer a somatória das forças no eixo x :

- F A G × 1 5 + F A E × 1 5 = 0 → F A G = F A E

Logo para a somatória das forças no eixo y :

1.8 - 2 5 F A G - 2 5 F A E = 0

Substituindo F A G = F A E nós teremos:

1.8 = 4 5 F A G → F A G = F A E = 1.01   k N

Forças trativas.

Passo 4

Agora vamos para junta B onde teremos o seguinte sistema de forças.

Onde F B A = F A B = - 2.4 k   k N

E as posições vetoriais das outras forças serão iguais a:

F B C = F B C × 1 - 0 i + 0 - 2 j + 0 - 0 k 1 2 + 2 2 = F B C × 1 5 i - 2 5 j

F B D = F B D × - 1 - 0 i + 0 - 2 j + 0 - 0 k 1 2 + 2 2 = F B D × - 1 5   i - 2 5 j

F B E = F B E × 1 - 0 i + 0 - 2 j + 2 - 0 k 1 2 + 2 2 + 2 2 = F B E × 1 3 i - 2 3 j + 2 3 k

F B G = F B G × - 1 - 0 i + 0 - 2 j + 2 - 0 k 1 2 + 2 2 + 2 2 = F B G - 1 3 i - 2 3 j + 2 3 k

Pela simetria das barras B C e B D em x e y podemos dizer que elas terão o mesmo valor de força, além da simetria das barras em B E e B G . Além do fato que em x e em y não teremos nenhuma força resultante ou seja:

F B E = F B G

F B C = F B D

Passo 5

Fazendo a somatória das forças em z nós teremos:

2 3 F B E + 2 3 F B G - 2.4 = 0

4 3 F B E = 2.4 → F B E = F B G = 1.8   k N   ( T )

Agora fazendo a somatória das forças em y :

- F B C 2 5 - F B D × 2 5 - 2 3 F B E - 2 3 F B G = 0

- F B C 4 5 = 4 3 × 1.8

F B C = F B D = - 1.34   k N

Essa igualdade causada pela simetria pode ser encontrada fazendo a somatória dos momentos nos eixos x e y .

Resposta

F A B = 2.4   k N   ( C )

F A G = F A E = 1.01   k N   ( T )

F B E = F B D = 1.8   k N   ( T )

F B C = F B D = 1.34   k N ( C )

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