Enunciado

60- Determine as forças em cada um dos elementos da treliça espacial e indique se eles estão sob tração ou compressão. A treliça é apoiada por uma junta esférica em A ,   B e E . Considere que F = - 200 i + 400 j N . Dica: a reação de apoio em E atua ao longo dos elementos E C . Por que?

Passo 1

Da mesma forma que analisamos junta por junta uma estrutura 2 D nós também podemos fazer esse mesmo raciocínio para estruturas 3 D . A diferença é que deveremos somar as forças em três dimensões.

Vamos encontrar todos os vetores dessas forças pela posição dos pontos:

A = 0,0 , 0 [ m ]

B = 6,3.5,0 [ m ]

C = 0,3.5,0 [ m ]

D = 1,2 , 2 [ m ]

Agora tirando os vetores a partir dos pontos nós teremos:

v D A = A - D = - i - 2 j - 2 k

v D B = B - D = 5 i + 1.5 j - 2 k

v D C = C - D = - i + 1.5 j - 2 k

E os vetores forças serão os vetores unitários multiplicados pela força ou seja:

F D A = F D A × - i - 2 j - 2 k 1 2 + 2 2 + 2 2 = F D A - 1 3 i - 2 3 j - 2 3 k

F D B = F D B × 5 i + 1.5 j - 2 k 5 2 + 1.5 2 + 2 2 = F D B ( 0.89443 i + 0.26833 j - 0.35777 k )

F D C = F D C × - i + 1.5 j - 2 k 1 2 + 1.5 2 + 2 2 = F D C ( - 0.37139 i + 0.557086 j - 0.74278 k )

Passo 2

Agora vamos fazer a somatória das forças em x :

- 200 - 1 3 F D A + 0.89443 F D E - 0.37139 F D C = 0

A somatória das forças em y nos dá:

400 - 2 3 F D A + 0.26833 F D B + 0.557086 F D C = 0

E a somatória das forças em z :

- 2 3 F D A - 0.35777 F D B - 0.74278 F D C = 0

Resolvendo esse sistema de três equações com três incógnitas nós teremos:

F D A = 342.84   N ( T )

F D B = 186.32   N ( T )

F D C = - 397.47   N

Passo 3

Agora vamos para a junta C onde calcularemos as últimas forças.

O ponto C está na posição:

C = 0,3.5,0 [ m ]

E as outras estarão.

A = 0,0 , 0 [ m ]

B = 5,2 , 0 [ m ]

E = 0,3.5 , - x [ m ]

Onde x   pode ser qualquer valor.

Note que o ponto A está no mesmo eixo y em relação a C , o ponto B está no mesmo eixo x e o ponto E está no eixo z . Então basta rebater a força F C D em relação a esses eixos com os ângulos diretores de modo que temos o seguinte diagrama de forças na junta.

Fazendo a somatória das forças em z temos:

+ 0.74278 F C D - F C E = 0

F C E = 0.74278 × - 397.47 = 295.23   N   ( C )

Agora a somatória das forças em x nos dará:

F C B + 0.37139 F C D = 0

F C B = - 0.37139 × - 397.47 = 147.62   N   ( T )

E a somatória das forças em y :

- F C A - 0.557086 × F C D = 0

F C A = - 0.557086 × - 397.47 = 221.42   N   ( T )

Pois o sentido de F C D é o oposto de F D C , logo para realizar essas contas nós devemos inverter o sinal dos ângulos diretores.

Resposta

F D A = 342.94   N   ( T )

F D B = 186.32   N   ( T )

F D C = 397.47   N   ( C )

F C E = 295.23   N ( C )

F C B = 147.62   N   ( T )

F C A = 221.42   N   ( T )

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