Enunciado

93. Se F = 80   N , determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados do momento de binário. A tubulação se encontra no plano x - y .

Passo 1

Vamos calcular o momento de binário na forma vetorial, então:

M → = ( r → × F → ) = i j k r x r y r z F x F y F z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição das forças referentes a um certo ponto, no nosso caso vamos escolher a origem do sistema de coordenadas.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Se você reparar na figura, a força só tem componente em z .

Para encontrar os ângulos diretores temos que lembrar que eles são determinados através da formulação de um vetor unitário e as componentes desse vetor representam os cossenos dos ângulos diretores. Pode ser visto da seguinte maneira:

u → = M → M = M x M i + M y M j + M z M k

= cos ⁡ α i + cos ⁡ β j + cos ⁡ γ k

Vamos adotar o sentido anti-horário como positivo.

A figura nos fornece as distâncias em m m , mas vamos passá-las para m .

Passo 2

Teremos que calcular um momento para cada força e depois somá-los para obter o resultante.

Teremos um vetor posição para F e - F .

Para F podemos ver na imagem que:

r → F = 0,3 i + 0,8 j + 0 k

Para - F teremos:

r → - F = 0,2 i + 0,3 j + 0 k

Passo 3

Agora vamos calcular o momento para cada força e depois somá-los:

Primeiro para F :

M F → = ( r F → × F → ) = i j k 0,3 0,8 0 0 0 80

= 0,8 ⋅ 80 - 0 i - 0,3 ⋅ 80 - 0 j + 0 - 0 k

= { 64 i - 24 j + 0 k }

Agora para - F :

M - F → = ( r - F → × ( - F → ) ) = i j k 0 , 2 0 , 3 0 0 0 - 80

= - 0 , 3 ⋅ 80 - 0 i - - 0 , 2 ⋅ 80 - 0 j + 0 - 0 k

= { - 2 4 i + 16 j + 0 k }

Vamos somá-los para obter o momento resultante:

M R → = 64 i - 24 j + 0 k + { - 24 i + 16 j + 0 k }

= { 40 i - 8 j + 0 k }

Para achar intensidade, basta calcular o módulo desse vetor.

M R → = 40 2 + - 8 2 + 0 2

= 1600 + 64

= 1664 = 40,8

Passo 4

Agora vamos determinar os ângulos diretores como foi explicado no passo 1, então:

cos ⁡ α = 40 40,8

⇒ cos ⁡ α = 0,98 03

⇒ α = 11,3 °

cos ⁡ β = - 8 40,8

⇒ cos ⁡ β = - 0 , 196

⇒ β = 10 1 , 3 °

cos ⁡ γ = 0 40,8

⇒ cos ⁡ γ = 0

⇒ γ = 90 °

Resposta

A intensidade do momento é:

40,8   N ⋅ m

Os ângulos diretores são:

α = 11,3 °

β = 101,3 °

γ = 90 °

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Se o binário resultante dos três binários atuando sobre o bloco triangular tiver de ser zero, determine a intensidade das forças F e P.