Enunciado

A que altitude h acima do pólo norte o peso de um objeto é reduzido para 10 % do seu valor na superfície terrestre? Assuma a Terra esférica com raio R e expresse h em termos de R .

Passo 1

Vamos escrever uma fórmula para a aceleração da gravidade quando a altitude acima do pólo norte é zero:

g 0 = G M R 2

Onde R é o raio da Terra. Agora queremos uma para a aceleração da gravidade em uma altitude h qualquer:

g h = G M R + h 2

O enunciado pede o valor de h quando o peso de um objeto é apenas 10 % do que seria na superfície, ou seja:

g h = 0,1 g 0

G M R + h 2 = 0,1 G M R 2

Agora precisamos resolver essa equação para encontrar h .

Passo 2

O enunciado diz que podemos expressar h em termos de R , então não precisamos substituir valores numéricos:

G M R + h 2 = 0,1 G M R 2

Dividindo os dois lados por G M :

1 R + h 2 = 0,1 1 R 2

R 2 = 0,1 R + h 2

Agora podemos “abrir” o parêntese ao quadrado no lado direito:

R 2 = ( 0,1 ) ( R 2 + 2 h R + h 2 )

R 2 = 0,1 R 2 + 0,2 h R + 0,1 h 2

0,1 h 2 + 0,2 R h - 0,9 R 2 = 0

E multiplicando tudo por 10 para facilitar as coisas:

h 2 + 2 R h - 9 R 2 = 0

Chegamos em uma equação de segundo grau!

Passo 3

Usando a fórmula de Bháskara:

h = - 2 R ± 2 R 2 - 4 1 - 9 R 2 2

h = - 2 R ± 4 R 2 + 36 R 2 2 = - 2 R ± 40 R 2

E reescrevendo 40 = 4   .   10 = 2 10 :

h = - R ± 10 R = R ( ± 10 - 1 )

Como não faz sentido ter uma altitude negativa, podemos descartar o negativo do ± , então:

h = R ( 10 - 1 )

Pronto!

Resposta

A altitude deve ser h = R ( 10 - 1 ) .

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