Enunciado

O anel de raio r com uma abertura está girando em torno de um eixo vertical através do seu centro O com uma velocidade angular constante ω . Utilize um elemento diferencial do anel e desenvolva expressões para o esforço cortante N e a tração T no anel em termos do ângulo θ . Determine o momento fletor M C no ponto C usando a metade do anel como um corpo livre. A massa do anel por unidade de comprimento de aro é ρ .

Passo 1

Bom pessoal, vamos fazer por partes. Primeiro, a figura do enunciado nos dá praticamente o diagrama de corpo livre.

Bom, vamos aplicar a equação de equilíbrio de forças na direção radial:

∑ F r = m a r

onde a aceleração radial nada mais é do que a componente normal. A massa é a correspondente a este pequeno pedaço de anel m = ρ r d θ . Temos ainda as componentes das forças na direção radial, N ,   N + d N ,     T   e   T + d T .

Então, expandindo a equação:

N c o s d θ 2 - N + d N c o s d θ 2 + T s e n d θ 2 + T + d T s e n d θ 2 = ρ r d θ ( r ω 2 )

Como o ângulo d θ é muito pequeno, podemos fazer as seguintes aproximações:

s e n d θ 2 = d θ 2

c o s d θ 2 = 1

Substituindo na equação:

N - N + d N + T d θ 2 + T + d T d θ 2 = ρ r 2 ω 2 d θ

T d θ + d N + d t d θ 2 = ρ r 2 ω 2 d θ

Reparem que o termo   d t d θ 2 é muito pequeno quando comparado aos demais por ser um produto de dois números muito pequenos. Portanto, este termo pode ser desprezado. Ficamos com a seguinte equação:

T d θ + d N = ρ r 2 ω 2 d θ

T - ρ r 2 ω 2 = d N d θ       ( 1 )

Agora, vamos fazer a mesma coisa para a direção tangencial, lembrando que não há aceleração tangencial:

∑ F t = m a t

T c o s d θ 2 - T + d T c o s d θ 2 + N s e n d θ 2 + N + d N s e n d θ 2 = 0

T - T + d T + N d θ 2 + N + d N d θ 2 = 0

N = - d T d θ               ( 2 )

Derivando a primeira equação em relação a d θ :

d T - ρ r 2 ω 2 d θ =   d 2 N d θ 2

Como a velocidade angular ω é constante, sua derivada é nula. Então

d T d θ = d 2 N d θ 2

Substituindo na equação (2):

d 2 N d θ 2 + N = 0

A solução desta EDO é dada por:

N θ = A s e n θ + B c o s θ

Agora devemos aplicar as condições de contorno para encontrar o valor das constantes A e B. Para θ = 0 ,   t e m o s   q u e   N = 0 , logo:

0 = A s e n 0 + B c o s 0

B = 0

N θ = A s e n θ

Agora, pegando a equação (1) e substituindo a expressão encontrada para N:

T - ρ r 2 ω 2 = d ( A s e n θ ) d θ    

T - ρ r 2 ω 2 = A c o s θ    

Vamos aplicar outra condição de contorno. Para θ = π ,   t e m o s   q u e   T = 0 , portanto:

A = ρ r 2 ω 2

Temos, então, a expressão completa para N:

N = ρ r 2 ω 2   s e n θ

Para encontrar o valor da tração T, basta usar a equação (1) novamente:

T - ρ r 2 ω 2 = d ( ρ r 2 ω 2   s e n θ ) d θ      

T - ρ r 2 ω 2 = ρ r 2 ω 2   c o s θ

T = ρ r 2 ω 2 ( 1 + c o s θ )

Passo 2

Para encontrar o momento no ponto C, o enunciado recomenda utilizar metade do anel.

Um conhecimento importante para entender o diagrama é saber a localização do centro de massa de metade de um anel. Além disso, a aceleração normal fica concentrada neste ponto. Agora sim, podemos calcular o somatório dos momentos em C:

∑ M c = m a d

M c = ρ π r r ω 2 2 r π

M C = 2 ρ π r 3 ω 2

Resposta

N = ρ r 2 ω 2   s e n θ

T = ρ r 2 ω 2 ( 1 + c o s θ )

M C = 2 ρ π r 3 ω 2

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