Enunciado

Um arama homogêneo com 0.056 kg/m de massa por unidade de comprimento é usado para formar a armação mostrada na figura. Determine o momento de inercia da armação em relação a cada um dos eixos coordenados.

Passo 1

Para podermos encontrar o momento de inércia da armação, faz-se necessário saber a massa de cada componente. Note que, a questão nos oferece a massa específica, assim podemos achar a massa em cada parte.

Para facilitar, vamos separar a figura em 6 partes:

1: Sobre o eixo y

2: No plano x-y

3: No plano x-y

4: No plano x-z

5: No plano x-z

6: Sobre o eixo z.

Passo 2

Pronto separamos a figura, agora vamos calcular a massa com as dimensões dadas. Como todas as dimensões são iguais, então:

m = ( m / L ) L

m = 0.056 * 1.2

m = 0.0672   k g  

Passo 3

Com as massas de cada elemento encontrado, vamos utilizar o teorema dos eixos paralelos para podermos achar o momento de inercia.

Em relação ao eixo x, note que:

I x =   I x 1 + I x 2 + I x 3 + I x 4 + I x 5 + I x 6

E que, como é em relação ao eixo x, então:

I x 1 = I x 3 =   I x 4 =   I x 6

I x 2 =   I x 5

Então, por meio do teorema dos eixos paralelos, temos:

I x 1 = I x 3 =   I x 4 =   I x 6 = 1 3 0.0672 * 1.2 2 = 0.03226   k g * m 2

Como também,

I x 2 =   I x 5 = 0 + 0.0672 * 1.2 2 = 0.09677   k g * m 2

Assim,

I x =   I x 1 + I x 2 + I x 3 + I x 4 + I x 5 + I x 6 = 0.32 3   k g * m 2

Passo 4

Para o eixo y, note que:

I y 1 = 0

I y 2 = I y 6

I y 4 = I y 5

Portanto,

I y 2 = I y 6 =   1 3 0.0672 * 1.2 2 = 0.03226   k g * m 2

I y 3 = 0 + 0.0672 * 1.2 2 = 0.09677   k g * m 2  

I y 4 = I y 5 = 1 12 * 0.0672 * 1 , . 2 2 + 0.0672 1,2 2 + 0.6 2 = 0.12902   k g * m 2

Assim,

I y =   I y 1 + I y 2 + I y 3 + I y 4 + I y 5 + I y 6 = 0.419   k g * m 2

Passo 5

Para o eixo z, note que ele é semelhando ao eixo y, por simetria, teremos:

I y = I z

I z = 0.419   k g * m 2

Resposta

I x = 0.323   k g * m 2

I y = 0.419   k g * m 2

I z = 0.419   k g * m 2

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