Enunciado

10 Determine a força em cada elemento da treliça de telhado mostrada na figura. Indique se cada elemento está sob tração ou sob compressão.

Passo 1

Falaaa... beleza??

Vamos começar mandando o diagrama de corpo livre:

Aplicando o somatório de forças em x :

∑ F x = 0

A x = 0

E agora aplicando em y :

∑ F y = 0

A y + I - 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 0

Pela simetria da treliça:

A y = I

Então:

A y + A y - 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 0

A y = 6   k N

Passo 2

Vamos primeiro achar o seno e o cosseno do ângulo θ que, acredite, vamos usar a beça e também do ângulo γ :

Pegando o triângulo A E E ' (ponto E ' é onde bate a altura do E ):

E E ' = 2   m

A E ' = 4,5   m

Pra achar A E :

A E 2 = A E ' 2 + C E ' 2

A E 2 = 4,5 2 + 2 2

A E = 4,92   m

Para o seno:

sin ⁡ θ = E E ' A E

sin ⁡ θ = 2 4,92

E para o cosseno:

cos ⁡ θ = A E ' A E

cos ⁡ θ = 4,5 4,92

E para o ângulo γ (usando o triângulo C E E ' ):

E E ' = 2   m

C E ' = 1,5   m

Pra achar C E :

C E 2 = C E ' 2 + C E ' 2

C E 2 = 1,5 2 + 2 2

C E = 2,5   m

Para o seno:

sin ⁡ γ = E E ' C E

sin ⁡ γ = 2 2,5

E para o cosseno:

cos ⁡ γ = C E ' C E

cos ⁡ θ = 1,5 2,5

Passo 3

Vamos analisar a junta A:

Fazendo o somatório de forças em x

∑ F x = 0

A x + F A C + F A B cos ⁡ θ = 0

E em y :

A y - 1 + F A B sin ⁡ θ = 0

6 - 1 + F A B 2 4,92 = 0

F A B = - 12,3   k N

Como é negativa, então é compressão.

F A B = 12,3   k N   C

Substituindo na de cima:

A x + F A C + F A B cos ⁡ θ = 0

0 + F A C + - 12,3 4,5 4,92 = 0

F A C = 11,25   k N

Como é positiva, então é traçã.

F A C = 11,25   k N   T

Passo 4

Agora pegando a junta B:

Somatório de forças em x :

F B D cos ⁡ θ + F B C cos ⁡ θ - F A B cos ⁡ θ = 0

F B D + F B C - - 12,3 4,5 4,92 = 0

F B D + F B C = - 12,3

Em y :

F B D sin ⁡ θ - F B C sin ⁡ θ - F A B sin ⁡ θ - 2 = 0

F B D - F B C - - 12,3 2 4,92 = 2

F B D - F B C = - 7,4

Somando as duas equações:

2 F B D = - 19,7

F B D = - 9,85   k N

F B D = 9,85   k N   C

Subtraindo:

2 F B C = - 4.9

F B C = - 2,45   k N

F B C = 2,45   k N   C

Passo 5

Agora a junta D:

Somatório de forças em x :

F D E cos ⁡ θ - F B D cos ⁡ θ = 0

F D E = F B D

F D E = 9,85   k N   C

Somatório de forças em y :

- F C D - 2 = 0

F C D = - 2   k N

F C D = 2   k N   C

Passo 6

Para a junta C:

Somatório de forças em x :

F C G + F C E cos ⁡ γ - F A C - F B C cos ⁡ θ = 0

F C G + F C E 1,5 2,5 - 11,25 - - 2,45 4,5 4,92 = 0

Somatório de forças em y :

F C D + F C E sin ⁡ γ + F B C sin ⁡ θ = 0

- 2 + F C E 2 2,5 + - 2,45 2 4,92 = 0

F C E = 3,74   k N

F C E = 3,74   k N   T

Voltando pra equação de x :

F C G + F C E 1,5 2,5 - 11,25 - - 2,45 4,5 4,92 = 0

F C G + 3,74 1,5 2,5 - 11,25 - - 2,45 4,5 4,92 = 0

F C G = 6,76   k N

F C G = 6,76   k N   T

Passo 7

Da simetria a gente tira todo o resto:

F D E = F E F = 9,85     k N   C

F C E = F E G = 3,74   k N   T

F C D = F F G = 2   k N   C

F B D = F F H = 9,85   k N   C

F B C = F G H = 2,45   k N   C

F A C = F G I = 11,25   k N   T

F A B = F H I = 12,3   k N   C

Resposta

F D E = F E F = 9,85     k N   C

F C E = F E G = 3,74   k N   T

F C D = F F G = 2   k N   C

F B D = F F H = 9,85   k N   C

F B C = F G H = 2,45   k N   C

F A C = F G I = 11,25   k N   T

F A B = F H I = 12,3   k N   C

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