Enunciado

Atreliça espacial mostrada está presa aos suportes fixos em A , B e E e está carregada pela força L , que tem componentes x e y iguais mas não tem componente z (vertical). Mostre que existe um número suficiente de elementos para garantir estabilidade interna e que seu posicionamento é adequado para esse objetivo. Em seguida determine as forças nos elementos C D , B C e C E .

Passo 1

Para uma treliça espacial estaticamente determinada como um todo, se temos j nós e m elementos, teremos 3 j equações de estabilidade (3 equações de força para cada nó) e m + 6 incógnitas (uma para cada elemento e 6 para forças externas atuando na treliça). Então a treliça deve satisfazer a relação 3 j = m + 6 . Nesse caso, temos m = 12 e j = 6 , então temos

m + 6 = 3 j = 18

E a condição é satisfeita. Além disso, todos os nós pertencentes à treliça estão em tetraedros rígidos formados por 4 pontos, então cada um dos nós está fixado.

Passo 2

Todas as forças que queremos encontrar pertencem ao nó C , então vamos resolver as condições de equilíbrio para esse nó. Mas temos 4 incógnitas nesse ponto e só 3 equações, então antes devemos encontrar C F a partir das equações do nó F .

Achamos o ângulo θ através de sua tangente:

tg ⁡ θ = a 2 a = 1 2

θ = arctg ⁡ 1 2 = 26,6 °

Pela soma das forças no eixo z :

∑ F z = 0 ⇒ - C F cos ⁡ 26,6 ° - D F cos ⁡ 26,6 ° = 0 ⇒ D F cos ⁡ 26,6 ° = - C F cos ⁡ 26,6 °

⇒ D F = - C F

Agora em y :

∑ F y = 0 ⇒ - C F sen ⁡ 26,6 ° + D F sen ⁡ 26,6 ° + L cos ⁡ 45 ° = 0

⇒ - 2   C F sen ⁡ 26,6 ° + L cos ⁡ 45 ° = 0

⇒ 2   C F sen ⁡ 26,6 ° = L cos ⁡ 45 ° ⇒ C F = L cos ⁡ 45 ° 2 sen ⁡ 26,6 °

⇒ C F = 0,79 L

Passo 3

Agora podemos fazer as equações para o nó C .

Vamos colocar C E e C F na forma vetorial e resolver para as 3 direções. Para C F temos:

C F → = 0,79 L sen ⁡ 26,6 ° j ^ + 0,79 L cos ⁡ 26,6 °   k ^ = 0,354 L j ^ + 0,706 L k ^

Representamos C E pelo seu vetor unitário:

r → C E = a i ^ + a j ^ + 2 a k ^

r → C E = a 2 + a 2 + 2 a 2 = 6 a 2 = 2,45 a

C E → = C E a i ^ + a j ^ + 2 a k ^ 2,45 a = C E ( 0,408 i ^ + 0,408 j ^ + 0,816 k ^ )

Em z só temos C E como incógnita, então fazendo a soma das forças nessa direção:

∑ F z = 0 ⇒ C E z + C F z = 0

0,816   C E + 0,706 L = 0 ⇒ C E = - 0,706 0,816

⇒ C E = - 0,865 L   ( C )

Agora encontramos B C fazendo a soma para x :

∑ F x = 0 ⇒ B C - C E x = 0

⇒ B C = 0,408 C E ⇒ B C = 0,408 0,865 = 0,353 L   ( T )

Finalmente fazemos para y :

∑ F y = 0 ⇒ - C E y + C F y + C D = 0

⇒ - 0,408 0,865 L + 0,353 L + C D = 0

⇒ C D = 0

Resposta

B C = 0,353 L   ( T )

C D = 0

C E = 0,865 L   ( C )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a força nos membros B F , B G e A B e indique se os membros estão sob tração ou compressão.
Determine a força nos membros B C , H C e H G . Indique se os membros estão sob tração ou compressão.
Determine a força nos membros E F ,E P e L K da treliça de ponte Baltimore e indique se os membros estão sob tração ou compressão. Além disso, indique todos os membros de força zero.
Determine a  força nos membros  C D e  C M da treliça de ponte Baltimore  e indique se os membros  estão sob tração ou compressão. Além disso, indique  todos os membros de força zero.
A treliça Howe está sujeita ao carregamento mostrado. Determine as forças nos membros G F ,C D eG C e indique se os membros estão sob tração ou compressão.