Enunciado

Como parte de um estudo preliminar de um projeto, estão sendo investigados os efeitos das cargas devidas ao vento em um prédio de 300 m. Para a distribuição parabólica da pressão do vento, mostrada na figura, calcule as forças e o momento da reação na base A do prédio devido ao carregamento causado pelo vento. A largura do prédio (perpendicular ao papel) vale 60 cm.

Passo 1

Queremos calcular a força F causada pelo vento e o momento total M que o vento causa em torno da base, que é igual ao momento de reação que impede o giro. Vamos dividir o prédio em elementos infinitesimais retangulares horizontais de altura d y . A força causada pelo vento em cada elemento desses será d F = p   d A , sendo p a pressão para a altura y do elemento a partir da base e d A a área dada pela largura do prédio, igual a 60 m, vezes d y :

d A = 60 d y

Então a força e o momento total causados na base são:

F = ∫ d F = ∫ p d A = ∫ 60 p d y

M = ∫ y   d F = ∫ y   p d A = ∫ 60 p y   d y

Passo 2

Vamos primeiro obter p em função de y . A pressão p ( y ) segue a lei p = k y . Como p 300 = 600 :

600 = k 300 ⇒ k = 600 300 = 600 10 3 = 60 3

Então a pressão é:

p y = 60 3 y

Passo 3

Vamos obter a força total:

F = ∫ 60 p   d y = ∫ 0 300 60 60 3 y d y = 3600 3 ⋅ y 3 / 2 3 / 2 0 300

= 3600 3 ⋅ 2 300 300 3 = 3600 3 ⋅ 600 ⋅ 10 3 3 = 7200000   N

Agora vamos integrar para obter o momento total:

M = ∫ 60 p y   d y = ∫ 0 300 60 60 3 y y d y = 3600 3 ∫ 0 300 y 3 / 2 d y

= 3600 3 y 5 / 2 5 / 2 0 300 = 3600 3 ⋅ 2 300 5 2 5 = 7200 5 3 300 2 300 = 1440 3 90000 ⋅ 10 3

= 1296000000   N ⋅ m

Resposta

F = 7,2 × 10 6   N

M = 1296 × 10 6   N ⋅ m

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