Enunciado

Uma barra de 300 mm de comprimento e seção transversal retangular de 20 × 50   m m consiste em duas lâminas de aço doce, cada uma com 6   m m   de espessura coladas a uma lâmina central de 8 mm de espessura, de aço temperado. Esta barra composta é submetida a uma carga axial central de intensidade P. Assume-se que ambos os aços são elastoplásticos com E = 200   G P a e com tensão de escoamento de 250   M P a e 690   M P a , respectivamente para o aço doce e para o aço temperado. Desenhe o diagrama carga-deflexão para a barra composta. Usando este diagrama, determinar o máximo valor de P, a máxima tensão em cada lâmina, e a deformação permanente na barra quando P cresce gradualmente desde zero até a deformação da barra atingir um valor máximo δ m , e então retornar a zero, considerando:

  1. δ m = 0,621   m m ;
  2. δ m =   1,242   m m .

Passo 1

Primeiro, vamos calcular as áreas de seção transversal.

Passo 2

Agora vamos gerar o gráfico Carga-Deflexão para o Aço Doce.

Usando a lei de Hooke vamos determinar a deformação elástica admissível:

σ = E ε ⟹ δ = σ E L

δ d o c e = σ e d o c e E L = 250   M P a 200   G P a ⋅ 300   m m = 0,375   m m

E podemos calcular também a carga necessária para atingir o regime plástico:

P m a x d o c e = σ e d o c e A d o c e = 250   M P a ⋅ 600 m m 2 = 150   k N

Com essas informações podemos construir o gráfico de Carga-Deflexão:

Passo 3

Agora vamos gerar o gráfico Carga-Deflexão para o Aço Temperado.

Determinamos a máxima deformação elástica

δ t e m p = σ e t e m p E L = 690   M P a 200   G P a ⋅ 300   m m = 1,035   m m

E a máxima deformação plástica.

P m a x t e m p = σ e t e m p ⋅ A t e m p = 690   M P a ⋅ 400   m m 2 = 276   k N

Aproveitamos também para calcular a força necessária para deformação a barra em em 0,375   m m :

F A = E ⋅ ε

F t e m p @ 0,375 = E δ L ⋅ A t e m p = 200   G P a ⋅ 0,375   m m 300   m m 400   m m 2 = 100   k N

Passo 4

Agora que temos os dois gráficos

Vamos somar os dois gráficos para obter o gráfico total:

P @ 0,375 = 150 + 100 = 250   k N

P @ 1,03 5 = 150 + 276 = 426   k N

Passo 5

Vamos observar no diagrama o ponto δ M = 0,621 :

Neste ponto as placas de aço doce estão em regime plástico, então a carga no aço doce é máxima e igual a

F d o c e = 150   k N

Já o núcleo de aço temperado está em regime elástico, e podemos determina a força utilizando a lei de Hooke

F t e m p @ 0,671 = E δ L ⋅ A t e m p = 200   G P a ⋅ 0 , 62 1 m m 300   m m 400   m m 2 = 165,6   k N

Logo a força P será:

P = F d o c e + F t e m p P = 150 + 1 65,6 P = 3 15,6   k N

Passo 6

A máxima tensão em nas lâminas de aço doce ocorrerá em regime plástico. Quando regime é plástico, a tensão se torna igual a tensão de escoamento:

σ m a x d o c e = 250   M P a

Para o núcleo de aço temperado vamos calcular utilizando a fórmula da tensão

σ t e m p = F t e m p A t e m p = 165,6   k N 400   m m 2 = 414   M P a

Passo 7

Para calcular a deformação permanente vamos observar o gráfico.

Quando a força for aliviada, a estrutura vai se recuperar seguindo a linha laranja tracejada. Perceba que a linha tracejada é paralela a primeira região da linha laranja contínua.

Usando semelhança de triângulos podemos calcular a deflexão recuperada.

δ r e c P = 0,375   m m 250   k N

δ r e c = 0,375   m m 250   k N ⋅ 315,6   k N

δ r e c = 0,4734   m m

Então a deflexão permanente:

δ p = δ M - δ r e c

δ p = 0,621 - 0,4734

δ p = 0 , 1476   m m

Resposta

P = 315,6   k N

σ m a x d o c e = 250   M P a

σ t e m p = 414   M P a

δ p = 0,1476   m m

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