Enunciado

Para a barra composta do Problema 2.104, se P cresce gradualmente desde zero até a deflexão do ponto C atingindo um valor máximo σ m e depois retorna a zero, pede-se determinar o máximo valor de P, a máxima tensão em cada porção da barra e a deflexão permanente em C, quando

  1. δ m = 0,28   m m
  2. δ m = 0,38   m m

Passo 1

Primeiro de tudo, precisamos saber o quanto cada barra aguenta de deformação elástica.

Para isso, vamos usar a Lei de Hooke:

σ = E ⋅ ε ⟹ ε = σ E  

Logo:

δ = σ E L

E vamos aplicar a Lei de Hooke considerando a tensão de escoamento de cada barra. Assim, vamos descobrir o máximo de deformação elástica que cada barra aguenta.

δ e A C = σ A C E L A C = 250   M P a 200   G P a 200   m m ⟹ δ e A C = 0,25   m m

δ e B C = σ e B C E L B C = 350   M P a 200   G P a 200 m m ⟹ δ e B C = 0,35   m m

Também podemos calcular a maior força que cada barra pode resistir para se manter em regime elástico:

F A C = σ e A C ⋅ A = 250   M P a ⋅ 1935   m m 2 = 483,75   k N

F e A C = σ e A = 350   M P a ⋅ 1935   m m 2 = 677,25   k N

Agora que já calculamos as forças e as deformações podemos gerar o gráfico de Carga-Deformação:

(OBS: Caso tenha dúvidas sobre a construção deste gráfico, veja a questão 104a, onde detalhamos a sua construção)

Passo 2

Note que as duas barras estão acopladas. E como dois corpos não podem ocupar o mesmo lugar ao mesmo tempo, uma barra só pode esticar se a outra encolher. Assim as barras sempre terão a mesma deformação, uma em tração e a outra em compressão:

Como a questão nos dá o valor do alongamento máximo, podemos comparar as deformações calculadas nos passos anteriores.

Como a deformação de tração máxima em AC é maior do que a deformação elástica de tração permitida, então o regime de AC é plástico:

δ e A C = 0,25   m m δ A C M = 0,28   m m   r e g i m e   p l á s t i c o   d e   t r a ç ã o  

Já no caso da barra BC, a deformação elástica de compressão permitida é maior que a deformação de compressão que de sofrida de fato. Então o regime é elástico.

δ e B C = 0,35   m m δ B C M = 0,28   m m   r e g i m e   e l á s t i c o   d e   c o m p r e s s ã o

Passo 3

Agora temos tudo que precisamos para calcular as forças em cada barra!

A região AC está em regime plástico de tração. Então a força que atua sobre ela é igual a força de escoamento:

σ e A C = F A C A

F A C = σ e A C ⋅ A

F A C = 250   M P a ⋅ 1935   m m 2

F A C = 483,75   k N

Já a barra BC está em regime elástico de compressão. Então podemos calcular a força sobre ela utilizando a lei de Hooke e a definição de tensão:

σ B C = E ⋅ ε B C

F B C A = E ⋅ δ B C L B C

F B C = A ⋅ E ⋅ δ B C L B C

F B C = 1935 m m 2 ⋅ 200   G P a ⋅ 0,28   m m 200   m m

F B C = 541,80   k N

Passo 4

A força externa que causa deformação é a força P .

Parte da força P gera a tração em A C e a outra parte gera a compressão em B C .

Então para calcular a força P , basta somar novamente F A C e F B C

P = F A C + F B C

P = 483,75 + 541,80

P = 1025,55   k N

Passo 5

Como já calculamos as forças, podemos calcular as tensões em cada porção.

Na porção A C , que está sobre regime plástico, a tensão tem que ser igual a tensão de escoamento:

σ A C = 250   M P a t r a ç ã o

Já na porção BC podemos usar a equação da tensão:

σ B C = P B C A = 541,80   k N 1935   m m 2 = 280   M P a c o m p r e s s ã o

Passo 6

Para calcular a deformação precisamos do gráfico que construímos:

Repare que a linha tracejada é paralela a primeira porção da linha roxa.

Com isso, vamos determinar a deformação recuperada:

δ r e c P = 0,25 967,5

δ r e c = 0,25   m m 967,5   k N ⋅ 1025,55 k N

δ r e c = 0,265

A deformação permanente será:

δ p = δ M - δ r e c = 0,28 - 0,265

δ p = 0,015   m m

Resposta

P = 1025,55   k N

σ A C = 250   M P a t r a ç ã o

σ B C = 280   M P a c o m p r e s s ã o

δ p = 0,015   m m

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