Enunciado

Para a barra do P r o b . 6.150 , e sabendo-se que o aço usado E = 200   G P a e ϑ = 0,30 , determinar as três deformações especificas principais e a máxima deformação especifica de cisalhamento, no ponto H .

Passo 1

Temos dois objetivos, que são, determinar as tensões principais e a máxima tensão cisalhante nos pontos H, pois assim poderemos determinar as deformações, para isso precisamos fazer o seguinte:

  • Levar todas as forças com seus respectivos momentos fletores até o ponto H
  • Com todas as ações no ponto H descartar a parte da seção onde as forças estavam
  • Construir o estado plano de tensões no ponto H
  • Calcular a máxima tensão cisalhante e as tensões principais nos pontos H.
  • E por fim calcular as deformações principais e cisalhante.

Sabendo isso vamos ao nosso primeiro passo:

Passo 2

Vamos primeiro decompor as forças em uma componente vertical e uma horizontal.

F v 2 = 200 250

F v = 1,6   k N

F h 2 = 150 250

F h = 1,2   k N

Vamos levar as forças até a seção com as suas respectivas ações ligadas, se fizermos um elemento unifilar teremos que:

Levando a carga de 1,6   k N até a seção, teremos que:

Levando a carga de 1,2   k N até a seção, teremos que:

Assim a resultante é dada por:

Agora que temos as ações que agem na estrutura, podemos para de olhar a seção como unifilar e podemos olhar ela como uma seção retangular, sendo assim teremos que:

Agora vamos analisar o que cada esforço irá produzir na nossa seção H:

  • Como a carga de 1,6 k N está na vertical e o ponto H está no topo da seção, podemos considerar que o cortante não irá gerar tensão de cisalhamento no ponto H
  • O momento torsor de 0 , 36   k N m irá gerar uma tensão cisalhante no ponto H
  • O momento fletor 0 , 20   k N m vai gerar uma tensão normal no ponto H.
  • O momento fletor de 0,27   k N m está sobre a LN que passa pelo ponto H, assim ele também não gera esforços normais em H.
  • E a força de 1,2 k N gera uma tensão normal em H.

Assim as forças que geram algo no ponto H são:

Passo 3

Se já temos os esforços, podemos calcular as tensões que cada um deles produz no ponto H.

  • Ponto H

Vamos começar pelas tensões normais:

  • σ x
  • Para a tensão normal, é importante lembrar que a fórmula é dada por:

    σ x = N A - M y I

    Vale lembrar que aqui vamos analisar logo a força normal e o momento fletor ao mesmo tempo, então vamos matar dois coelhos com duas cajadadas, beleza galera?

    Temos que o nosso momento fletor é:

    M = 0 , 20   k N m = 200   k N m m

    A distância em y é o valor do raio da seção, que é dado por:

    y = D 2 = 30 2 = 15   m m

    E o momento de inercia da seção é dada por:

    I = π r 4 4 = π 15 4 4 = 39761   m m 4

    Sabemos que a força normal é dada por:

    N = - 1,2   k N

    E a área é dada por:

    A = π r 2 = π 15 2 = 706,86   m m 2

    Assim a nossa tensão será dada por:

    σ x = - 1,2   [ k N ] 706,86   m m 2 - 200   k N m m   .     15   m m 39761   m m 4 = - 0,07715   G P a = - 77,15   M P a

    Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto H, gera uma compressão na direção X, que podemos descrever como:

    Vamos para a tensão cisalhante:

  • Devido ao momento torsor

Para a tensão cisalhante devido ao momento torsor, é importante lembrar que a fórmula para seções circulares é dada por:

τ x y = T ρ J

Temos o nosso momento torsor:

T = 0,36   k N m = 360   k N m m

ρ = 15 m m

J = π r 4 2 = π 15 4 2 = 79522   m m 4

E a tensão cisalhante é dada por:

τ x y = T ρ J = 360   k N m m     .       15   m m 79522   m m 4 = 0,06791   G P a = 67,91   M P a

Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto H, gera uma tensão cisalhante no nosso ponto H

Sabemos que a tensão máxima cisalhante é dada por:

R = τ x y ( m a x ) = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = - 77,15 - 0 2 2 + 67,91 2 = 78,1   M P a

Para as tensões principais precisamos da tensão média dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = - 77,15 2 = - 38,58   M P a

Assim teremos que:

σ 1 = σ m e d + R = - 38,58 + 78,1   = 39,52   M P a

σ 2 = σ m e d + R = - 38,58 - 78,1   = - 116,68   M P a

Com as tensões podemos definir as deformações.

Passo 4

Agora queremos as deformações em cada um dos planos, e por isso temos que lembrar da contribuição que uma tensão em um sentido, produz no outro, sendo assim, as deformações que de fato ocorrem no nosso elemento são dadas por:

ε 1 = σ 1 E - ϑ σ 2 E

ε 2 = σ 2 E - ϑ σ 1 E

ε 3 = - ϑ σ 1 E - ϑ σ 2 E

E assim teremos as deformações principais do nosso elemento, lembrando que nos vasos de pressão consideramos que σ 3 = 0 . Agora que já sabemos isso vamos ao nosso problema.

Pelo que já calculamos até agora, e o que temos no enunciado, temos que:

σ 1 = 39,52   M P a

σ 2 = - 116,68   M P a

E = 200   G P a = 200000   M P a

ϑ = 0,30

A deformação na direção 1 é dada por:

ε 1 = σ 1 E - ϑ σ 2 E = 39,52   M P a 200000   M P a - 0,30 - 116,68 M P a 200000   M P a = 3,726 × 10 - 4 m m = 372,6   μ

A deformação na direção 2 é dada por:

ε 2 = σ 2 E - ϑ σ 1 E = - 116,68 M P a 200000   M P a - 0,30 39,52 M P a 200000   M P a = - 6,427 × 10 - 4 m m = - 642,7   μ

A deformação na direção 3 é dada por:

ε 3 = - ϑ σ 1 E - ϑ σ 2 E = - 0,30 39,52 M P a 200000   M P a - 0,30 - 116,68 M P a 200000   M P a = 1,157 × 10 - 4 m m

ε 3 = 115,7   μ

Passo 5

Para o cálculo da tensão cisalhante temos que lembrar que levando o estado de tensões para o estado de deformações, teremos que:

ε x = σ x E - ϑ σ y E = 77,15   M P a 200000   M p a = 3,86 × 10 - 4 = 386 μ

ε y = σ y E - ϑ σ x E = - 0,30 77,15   M P a 200000   M p a = - 1,16 × 10 - 4 = - 116 μ  

Sabemos que a relação entre deformação cisalhante e tensão cisalhante é dado por:

γ x y = τ x y G

Sabemos que:

G = E 2 1 + ϑ = 200 2 1 + 0,3 = 76,92   G P a = 76920   M P a

γ x y = τ x y G = 67,91 M P a 76920   M P a = 8,83 × 10 - 4 m m = 883   μ

Assim, podemos determinar a deformação cisalhante máxima, e verificar as deformações normais máximas, assim teremos que:

ε m e d = ε x + ε y 2 = 386 - 116 2 = 135 μ

R = γ m a x = ε x - ε y 2 2 + γ x y 2 2 = 386 - - 116 2 2 + 883 2 2 = 508 μ

γ m a x 2 = 254 μ

ε M a x = ε m e d + R = 135 + 508 = 643   μ

ε M i n = ε m e d - R = 135 - 508 = - 373   μ

Ou seja, definimos todas as deformações que precisávamos.

Resposta

ε 1 = 372,6   μ

ε 2 = - 642,7   μ

ε 3 = 115,7   μ

γ m a x 2 = 254 μ

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